Variância, desvio padrão e coeficiente de variação, com as contas

Média e mediana dizem onde os dados estão; variância e desvio padrão dizem o quanto eles se espalham em torno da média. É um tema típico de prova de nível superior, em que a banca pede a conta completa ou testa as propriedades. Se você ainda precisa da base, comece por estatística descritiva: média, mediana, moda e amplitude.

A ideia em uma frase

A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e volta à unidade original dos dados. Por isso o desvio padrão é mais fácil de interpretar: se os dados são idades em anos, o desvio padrão também é em anos.

Passo a passo com um conjunto pequeno

Conjunto: 4, 6, 8, 10, 12 (n = 5).

Média: (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8.
Desvios (cada valor menos a média): -4, -2, 0, 2, 4. A soma dos desvios dá zero, sempre; por isso se eleva ao quadrado.
Quadrados dos desvios: 16, 4, 0, 4, 16. Soma: 40.
Variância populacional: 40 / 5 = 8.
Desvio padrão populacional: raiz de 8, aproximadamente 2,83.

Agora a versão amostral: divide-se por n - 1, em vez de n.

Variância amostral: 40 / 4 = 10.
Desvio padrão amostral: raiz de 10, aproximadamente 3,16.

População ou amostra?

Se os dados são todos os elementos do universo estudado (por exemplo, as notas de todos os alunos de uma turma, quando só interessa essa turma), use n no denominador.
Se os dados são uma amostra usada para estimar a variabilidade de um universo maior, use n - 1.

O enunciado costuma dizer qual das duas é pedida. Quando não disser, a palavra “amostra” ou “população” costuma estar nas primeiras linhas. Se a questão fornecer opções que só diferem por esse detalhe, releia o texto com cuidado.

Atalho de cálculo

Existe uma forma equivalente, útil quando a média não é inteira:

Variância populacional = (média dos quadrados dos valores) - (quadrado da média).

No exemplo: os quadrados dos valores são 16, 36, 64, 100 e 144, com soma 360. A média dos quadrados é 360 / 5 = 72. O quadrado da média é 8^2 = 64. Variância: 72 - 64 = 8. Mesmo resultado.

Coeficiente de variação

O desvio padrão depende da escala. Comparar a variabilidade de pesos em quilos com a de alturas em metros exige uma medida relativa. O coeficiente de variação (CV) é o desvio padrão dividido pela média:

CV = desvio padrão / média

No exemplo populacional: CV = 2,83 / 8, aproximadamente 0,354, isto é, cerca de 35%.

Para comparar dois conjuntos, suponha:

Conjunto A: média 8, desvio padrão 2,83 (CV de cerca de 35%).
Conjunto B: média 100, desvio padrão 10 (CV de 10%).

O B tem desvio padrão maior em valor absoluto, mas é menos disperso em termos relativos. A comparação justa usa o CV. O CV só faz sentido quando a média é positiva e não está perto de zero.

O que muda quando se transforma os dados

Estas propriedades caem com frequência.

Transformação	Média	Variância	Desvio padrão
Somar uma constante c a todos	soma c	não muda	não muda
Multiplicar todos por k	multiplica por k	multiplica por k^2	multiplica por

Teste com o exemplo.

Somando 5 (9, 11, 13, 15, 17): a média passa a 13 e os desvios continuam -4, -2, 0, 2, 4. A variância segue 8.
Multiplicando por 2 (8, 12, 16, 20, 24): a média é 16 e os desvios viram -8, -4, 0, 4, 8, com quadrados 64, 16, 0, 16, 64, soma 160. Variância populacional: 160 / 5 = 32, quatro vezes a anterior (2^2 x 8). O desvio padrão é raiz de 32, aproximadamente 5,66, o dobro do original (2 x 2,83).

Uma questão clássica: “os salários de todos os servidores receberam o mesmo aumento fixo (soma de constante). O que ocorre com o desvio padrão?” Nada: a dispersão não muda, só a posição. Se o reajuste fosse um percentual igual para todos (multiplicação por um fator), o desvio padrão seria multiplicado pelo mesmo fator e o CV não mudaria.

Valores que fogem da média

Como os desvios são elevados ao quadrado, valores muito afastados pesam mais. Acrescente o valor 30 ao conjunto 4, 6, 8, 10, 12: a média sobe para 70 / 6, aproximadamente 11,67, e a variância populacional passa a ser bem maior. A variância é sensível a valores extremos. Para dados com extremos, a mediana e a amplitude interquartílica podem ser medidas mais robustas, assunto de quartis, percentis e boxplot.

Como ler as perguntas

“Qual a variância?” Confirme se é populacional ou amostral.
“Qual o desvio padrão?” Calcule a variância e extraia a raiz. Se o resultado da variância for quadrado perfeito, a conta é rápida: variância 9, desvio 3.
“Qual conjunto é mais homogêneo?” Compare o CV, e não o desvio padrão, quando as médias diferem.
“Dados com frequência”: multiplique cada quadrado do desvio pela frequência e divida pelo total de observações (ou por total menos 1, na amostral).

Erros comuns

Esquecer de elevar ao quadrado e somar desvios simples (a soma dá zero).
Dividir por n quando a questão pede amostral, ou o contrário.
Dizer que o desvio padrão é a “média dos desvios”.
Esquecer de extrair a raiz ao pedir desvio padrão (e se atrapalhar ao confundir com a variância).
Comparar dispersões de grandezas diferentes pelo desvio padrão em vez do CV.

Próximos passos

Leia os dados de um gráfico com interpretação de tabelas e gráficos.
Avance para correlação e regressão linear simples.
Veja como a dispersão aparece na curva normal em distribuição normal e escore z.

Fontes e atualização

Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de Raciocínio Lógico e Matemático cita noções de estatística (média, moda, mediana e desvio padrão), e o de uma especialidade de análise de dados cita medidas de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação).
Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo da especialidade de Estatística cita medidas descritivas de posição, dispersão, assimetria e curtose.

As contas foram refeitas e conferidas. Qual medida e qual convenção a banca usa depende do edital e do enunciado.