Quartis, percentis e boxplot: como calcular e detectar outliers

Quartis e percentis dividem um conjunto ordenado de dados em partes. Eles são a base do boxplot (diagrama de caixa) e da detecção de valores atípicos. A mediana é o ponto central; os quartis mostram como os dados se distribuem em volta dela, e dizem se há assimetria ou valores fora do padrão.

As medidas separatrizes

Medida	Divide os dados em	Corte
Mediana (Q2)	2 partes iguais	metade abaixo, metade acima
Quartis (Q1, Q2, Q3)	4 partes iguais	25%, 50% e 75% abaixo
Decis	10 partes iguais	10%, 20%, … 90%
Percentis	100 partes iguais	1%, 2%, … 99%

Relações úteis: Q2 = mediana = percentil 50. Q1 é o percentil 25 e Q3 é o percentil 75.

Atenção a um ponto: não há um único método

Há mais de uma convenção para calcular quartis e percentis (interpolação, método das metades, posição inteira). Em consequência, o resultado pode mudar um pouco conforme o método. Em prova, o enunciado costuma indicar o método ou apresentar dados em que os métodos coincidem. O método usado abaixo é o das metades, o mais simples: divide-se o conjunto ordenado ao meio, pela mediana, e calcula-se a mediana de cada metade. Se o número de dados for ímpar, a mediana geral não entra em nenhuma das metades.

Exemplo 1: nove dados (n ímpar)

Dados ordenados: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15.

Mediana (Q2): o quinto valor, 7.
Metade inferior (sem a mediana): 2, 4, 4, 5. Q1 é a mediana dela: (4 + 4) / 2 = 4.
Metade superior: 8, 9, 12, 15. Q3 é a mediana dela: (9 + 12) / 2 = 10,5.
Amplitude interquartílica: AIQ = Q3 - Q1 = 10,5 - 4 = 6,5.

A AIQ mede a dispersão dos 50% centrais dos dados e não é afetada por valores extremos.

Exemplo 2: dez dados (n par)

Acrescente o valor 30 ao conjunto anterior: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15, 30.

Mediana: média do quinto e do sexto valores: (7 + 8) / 2 = 7,5.
Metade inferior: 2, 4, 4, 5, 7. Q1 = 4 (o valor do meio).
Metade superior: 8, 9, 12, 15, 30. Q3 = 12.
AIQ: 12 - 4 = 8.

O efeito do valor extremo

Medida	Sem o 30	Com o 30
Média	66 / 9, cerca de 7,33	96 / 10 = 9,6
Mediana	7	7,5

Um único valor alto elevou a média em mais de dois pontos, enquanto a mediana subiu só meio ponto. Por isso, em dados com extremos (renda, tempo de atendimento), a mediana representa melhor o “valor típico”.

Detectando outliers: a regra das cercas

Um critério muito usado define as cercas (limites):

Cerca inferior = Q1 - 1,5 x AIQ
Cerca superior = Q3 + 1,5 x AIQ

Valores fora das cercas são considerados atípicos (outliers) por esse critério.

Exemplo 1 (AIQ = 6,5): cerca inferior = 4 - 9,75 = -5,75; cerca superior = 10,5 + 9,75 = 20,25. Todos os dados (de 2 a 15) estão dentro. Não há outlier.

Exemplo 2 (AIQ = 8): cerca inferior = 4 - 12 = -8; cerca superior = 12 + 12 = 24. O valor 30 passa de 24: é outlier.

Atenção: “outlier” é um rótulo estatístico, não uma sentença. Um valor atípico pode ser erro de digitação ou um caso real importante. A decisão de excluí-lo depende do contexto.

Lendo um boxplot

O boxplot resume cinco números: mínimo, Q1, mediana, Q3 e máximo (ou os limites dentro das cercas, com pontos isolados para os outliers).

A caixa vai de Q1 a Q3, e a linha dentro dela marca a mediana.
Os bigodes (hastes) se estendem até os menores e maiores valores dentro das cercas.
Pontos isolados fora dos bigodes são os outliers.

Leitura da forma:

Mediana no centro da caixa e bigodes de tamanho parecido: distribuição aproximadamente simétrica.
Mediana mais perto de Q1 e bigode superior mais longo: assimetria positiva (cauda à direita), como no Exemplo 2.
Caixa estreita: dados centrais concentrados. Caixa larga: dados centrais mais dispersos.

Pergunta típica: “Em qual dos dois boxplots a mediana é maior?” Compare as linhas centrais, e não os extremos.

Percentis na prática

O percentil k é o valor abaixo do qual está, aproximadamente, k por cento dos dados. Se uma nota está no percentil 80, ela supera cerca de 80% das notas do grupo. Isso não significa que o candidato acertou 80% da prova. Esse é um erro de interpretação cobrado com frequência.

Cálculo aproximado da posição: para n dados ordenados, a posição do percentil k é aproximadamente k/100 x n. Se o resultado não for inteiro, arredonda-se para cima (um dos métodos comuns) e usa-se o valor dessa posição. Como os métodos variam, confie nas instruções da questão.

Erros comuns

Calcular quartis sem ordenar os dados antes.
Incluir a mediana nas metades quando n é ímpar, usando o método das metades (ou o contrário, sem avisar a convenção).
Confundir AIQ com amplitude total (máximo menos mínimo).
Dizer que “percentil 80” significa 80% de acertos.
Esquecer que a regra das cercas é um critério convencional, e não uma lei.

Próximos passos

Compare dispersão por desvio com variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Revise a base em estatística descritiva.
Treine leitura de dados em interpretação de tabelas e gráficos.

Fontes e atualização

Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo da especialidade de Estatística cita gráficos, diagramas, tabelas e medidas descritivas de posição, dispersão, assimetria e curtose; o conteúdo de raciocínio lógico cita medidas de posição (média, moda e mediana).
Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de Raciocínio Lógico e Matemático cita média, moda, mediana e desvio padrão.

As contas foram conferidas. A convenção de cálculo de quartis varia entre bancas e softwares: siga a do enunciado e confira o edital.