Problemas de média: nota necessária, entrada e saída de elementos

Quase todo problema de média aritmética se resolve voltando ao total: média multiplicada pela quantidade dá a soma. Com a soma na mão, ficam fáceis as perguntas “qual nota preciso tirar?”, “o que acontece com a média se alguém entra ou sai?” e “qual a média dos dois grupos juntos?”. Este guia organiza essas situações com exemplos conferidos por código e mostra a pegadinha de aplicar média de médias sem ponderar.

A relação básica

Média = Soma ÷ Quantidade, logo Soma = Média × Quantidade.

Essa segunda forma é a mais útil em prova, pois transforma o enunciado em contas com somas, que se somam e se subtraem sem dificuldade.

Situação 1: a nota necessária

Um candidato fez 4 provas com média 6. Qual a nota mínima na 5ª prova para ter média 7 nas 5 provas? E para média 6,8?

Soma das 4 provas: 4 × 6 = 24.
Para média 7 em 5 provas: soma necessária = 5 × 7 = 35. Nota na 5ª = 35 − 24 = 11, impossível se a prova vale até 10.
Para média 6,8: soma = 5 × 6,8 = 34. Nota = 34 − 24 = 10, possível (exatamente a nota máxima).
Conferência: (24 + 10) ÷ 5 = 6,8.

A conclusão prática: antes de comemorar o cálculo, compare com o limite da escala de notas.

Situação 2: entra um elemento

Uma turma de 20 pessoas tem idade média de 30 anos. Entra um professor de 50 anos. Qual a nova média?

Soma antiga: 20 × 30 = 600.
Soma nova: 600 + 50 = 650, com 21 pessoas.
Média nova: 650 ÷ 21 = 30,95 (aproximadamente; conferido).

Regra de bolso: se o novo valor é maior que a média, a média sobe; se é menor, desce; se é igual, não muda. Quanto mais pessoas já existem, menor o impacto do novo valor.

Qual valor leva a uma média pedida?

A média de 6 números é 15. Que número deve ser incluído para a média passar a 16?

Soma antiga: 6 × 15 = 90.
Soma nova (7 números): 7 × 16 = 112.
Número incluído: 112 − 90 = 22.
Conferência: (90 + 22) ÷ 7 = 16.

Situação 3: saem elementos

Num grupo de 12 pessoas com idade média de 40 anos, saem duas pessoas de 50 e 60 anos. Qual a nova média?

Soma antiga: 12 × 40 = 480.
Soma que sai: 50 + 60 = 110. Soma restante: 370, com 10 pessoas.
Média nova: 370 ÷ 10 = 37 (conferido).

Observação lógica: as duas que saíram eram mais velhas que a média (40), então a média desce.

Situação 4: dois grupos, média de médias

Numa turma, 30 mulheres têm nota média 8 e 20 homens têm nota média 7. Qual a média da turma?

Soma das mulheres: 30 × 8 = 240. Soma dos homens: 20 × 7 = 140.
Soma total: 380, com 50 pessoas.
Média da turma: 380 ÷ 50 = 7,6.

A média simples das duas médias seria (8 + 7) ÷ 2 = 7,5, errada, porque ignora que há mais mulheres. A média correta é uma média ponderada pelo tamanho dos grupos e fica mais próxima da do grupo maior.

Quadro-resumo

Pergunta	Caminho
Nota para atingir média M em N provas	N × M − soma das notas anteriores
Efeito de incluir valor v	(soma + v) ÷ (quantidade + 1)
Valor que leva à nova média M’	(n + 1) × M’ − n × M
Efeito de retirar valores	(soma − retirados) ÷ (quantidade − retirados)
Média de dois grupos	(n₁M₁ + n₂M₂) ÷ (n₁ + n₂)

Erros comuns

Fazer a média simples de médias de grupos com tamanhos diferentes.
Dividir pela quantidade antiga depois de incluir ou retirar elementos.
Esquecer de conferir se a nota exigida é possível dentro da escala.
Acreditar que acrescentar um valor sempre aumenta a média (depende de ele ser maior que a média).
Confundir média com mediana ou moda.
Arredondar a média intermediária e depois reutilizá-la em contas.

Próximos passos

Aprofunde em estatística descritiva: média, mediana, moda e amplitude.
Veja outras médias em médias geométrica e harmônica.
Combine com misturas e alegação.

Fontes e atualização

Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todas as contas foram conferidas executando código. O edital define o programa de matemática da prova; confira-o.