Seu navegador não oferece leitura em voz alta. Você pode ler o guia normalmente.
Problemas de idades assustam porque o enunciado mistura passado, presente e futuro na mesma frase. Na verdade, quase todos se resolvem com duas ferramentas: uma tabela com os instantes de tempo e a observação de que a diferença entre duas idades é constante ao longo da vida. Este guia ensina o método, resolve quatro modelos clássicos e lista as armadilhas. Todas as contas foram conferidas por código.
Fato básico: todo mundo envelhece o mesmo tanto
Se passam 10 anos, a idade de cada pessoa aumenta 10. Logo:
- a soma de duas idades aumenta 20 (10 de cada);
- a diferença continua a mesma;
- a razão (quociente) muda.
Isso explica por que a diferença de idade é o dado mais confiável do problema.
O método da tabela
- Escolha uma incógnita para a idade atual (ex.: f para o filho).
- Escreva as idades de todos hoje.
- Crie uma linha para cada instante citado (“daqui a 10 anos”, “há 5 anos”) somando ou subtraindo o tempo de todos.
- Traduza cada frase em uma equação e resolva.
- Confira voltando ao enunciado.
| Instante | Pai | Filho |
|---|---|---|
| Hoje | p | f |
| Daqui a t anos | p + t | f + t |
| Há t anos | p − t | f − t |
Modelo 1: relação hoje e relação futura
“Hoje o pai tem o triplo da idade do filho. Daqui a 10 anos, terá o dobro.”
- Hoje: p = 3f.
- Daqui a 10 anos: p + 10 = 2(f + 10).
- Substituindo: 3f + 10 = 2f + 20, logo f = 10 e p = 30.
- Conferência: daqui a 10 anos, 40 e 20. 40 é o dobro de 20. Correto.
Modelo 2: soma e diferença
“A soma das idades de duas irmãs é 60 e a diferença é 24.”
- Maior = (soma + diferença) ÷ 2 = (60 + 24) ÷ 2 = 42.
- Menor = (soma − diferença) ÷ 2 = (60 − 24) ÷ 2 = 18.
- Conferência: 42 + 18 = 60 e 42 − 18 = 24.
Esse resultado é o mais rápido para qualquer enunciado “soma e diferença” (não só de idades).
Modelo 3: relação no passado
“A soma das idades de uma mãe e de seu filho é 50. Há 5 anos, a mãe tinha o quádruplo da idade do filho.”
- Hoje: m + f = 50, logo m = 50 − f.
- Há 5 anos: m − 5 = 4(f − 5).
- Substituindo: 50 − f − 5 = 4f − 20, logo 45 + 20 = 5f e f = 13, m = 37.
- Conferência: há 5 anos, a mãe tinha 32 e o filho 8, e 32 = 4 × 8. Correto.
Armadilha: no passado, é preciso verificar se as idades são positivas. Se a conta dá f − 5 negativo, o filho ainda nem tinha nascido e o problema está montado errado.
Modelo 4: a diferença constante resolve de cabeça
“Maria tem 40 anos e sua filha, 12. Em quantos anos a idade de Maria será o triplo da idade da filha?”
- Diferença: 40 − 12 = 28, que não muda.
- Quando Maria tiver o triplo, a diferença (28) será o dobro da idade da filha: filha = 14.
- A filha tem 12 hoje, logo faltam 2 anos.
- Conferência: em 2 anos, 42 e 14. 42 = 3 × 14.
A lógica: se a idade da mãe é k vezes a da filha, a diferença vale (k − 1) vezes a idade da filha. Então a filha tem diferença ÷ (k − 1).
Variante: “a idade da mãe será o dobro”
Na mesma situação, a diferença seria igual à idade da filha, então a filha teria 28 e passariam 16 anos. Conferindo: 56 e 28. 56 = 2 × 28.
Modelo 5: três pessoas e a soma no futuro
“Ana tem o dobro da idade de Bia, e Bia tem 5 anos a mais que Caio. A soma das três idades é 55. Daqui a quantos anos a soma será 85?”
- Tome Bia como base, B. Ana = 2B e Caio = B − 5.
- Soma: 2B + B + (B − 5) = 55, logo 4B = 60 e B = 15. Ana tem 30 e Caio, 10.
- Cada ano que passa aumenta a soma em 3 (uma unidade por pessoa). Para ir de 55 a 85 faltam 30, logo 30 ÷ 3 = 10 anos.
- Conferência: daqui a 10 anos, 40 + 25 + 20 = 85.
Repare que, com três pessoas, a soma cresce 3 por ano, e não 2: esse é o erro mais frequente de quem decora “a soma aumenta 2 por ano”.
Quadro de traduções
| Frase | Equação |
|---|---|
| Tem o triplo da idade de | A = 3B |
| Tem 8 anos a mais que | A = B + 8 |
| Daqui a 5 anos terá o dobro | A + 5 = 2(B + 5) |
| Há 3 anos tinha a metade | A − 3 = (B − 3) ÷ 2 |
| A soma das idades é S | A + B = S |
| Nasceu quando o outro tinha 10 anos | A = B − 10 |
Erros comuns
- Somar o tempo só a uma das pessoas.
- Aplicar a relação “dobro” ao instante errado (hoje em vez de daqui a t anos).
- Esquecer que a razão muda com o tempo e a diferença não.
- Não conferir o resultado voltando ao enunciado.
- Aceitar idades negativas ou fracionárias absurdas sem desconfiar.
- Em frases de nascimento (“quando o pai nasceu, o irmão tinha 4 anos”), perder a diferença constante.
Próximos passos
- Treine a resolução algébrica em equações e inequações do 1º e 2º grau.
- Veja proporções em razão e proporção: divisão proporcional.
- Combine com sistemas lineares e matrizes.
Fontes e atualização
Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todas as soluções foram conferidas executando código (busca exaustiva dos valores inteiros possíveis em cada modelo). O edital define o programa de matemática da prova; confira-o.