Sistemas lineares e matrizes: noções e resolução para concursos

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau com as mesmas incógnitas; uma matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Os dois assuntos andam juntos porque um sistema pode ser escrito e resolvido com matrizes. Em concursos, o que costuma cair é resolver sistemas pequenos, classificá-los e calcular determinantes e produtos de matrizes 2x2 (às vezes 3x3). Todas as contas abaixo foram refeitas.

Resolvendo um sistema 2x2

Método da adição. Resolva x + y = 10 e 2x − y = 2.

Somando as duas equações, y se cancela: 3x = 12, então x = 4.
Na primeira: 4 + y = 10, então y = 6.
Teste na segunda: 2 · 4 − 6 = 2. Correto.

Método da substituição. Resolva 2x + 3y = 12 e x − y = 1.

Da segunda, x = y + 1.
Na primeira: 2(y + 1) + 3y = 12, logo 5y + 2 = 12 e y = 2.
Então x = 3. Teste: 2 · 3 + 3 · 2 = 12 e 3 − 2 = 1. Correto.

Escolha a substituição quando alguma incógnita tem coeficiente 1; escolha a adição quando os coeficientes de uma incógnita são opostos ou fáceis de igualar.

Classificação: SPD, SPI e SI

Sistema possível e determinado (SPD): uma única solução. É o caso dos exemplos acima.
Sistema possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções. Exemplo: x + y = 4 e 2x + 2y = 8; a segunda é a primeira multiplicada por 2, e qualquer par com soma 4 serve.
Sistema impossível (SI): nenhuma solução. Exemplo: x + y = 4 e 2x + 2y = 9; dividindo a segunda por 2, x + y = 4,5, o que contradiz a primeira.

No sistema 2x2 com equações a1·x + b1·y = c1 e a2·x + b2·y = c2, observe o determinante D = a1·b2 − a2·b1. Se D é diferente de zero, é SPD. Se D é zero, o sistema é SPI ou SI, conforme as equações sejam proporcionais por inteiro (SPI) ou apenas nos coeficientes das incógnitas (SI).

Matrizes: operações essenciais

Uma matriz de m linhas e n colunas é dita de ordem m por n. O elemento da linha i e coluna j chama-se a_ij.

Soma e subtração: só entre matrizes da mesma ordem, elemento a elemento.
Multiplicação por número: multiplica todos os elementos.
Transposta: troca linhas por colunas.
Identidade: diagonal principal com 1 e o restante com 0; funciona como o número 1 no produto.

Produto de matrizes. O produto A·B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. O elemento da linha i e coluna j do resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de B.

Exemplo. Sejam A = [[2, 1], [3, 4]] e B = [[1, 0], [2, 5]].

Linha 1 de A por coluna 1 de B: 2 · 1 + 1 · 2 = 4.
Linha 1 por coluna 2: 2 · 0 + 1 · 5 = 5.
Linha 2 por coluna 1: 3 · 1 + 4 · 2 = 11.
Linha 2 por coluna 2: 3 · 0 + 4 · 5 = 20. Resultado: A·B = [[4, 5], [11, 20]].

Agora B·A: linha 1 de B por A dá [1·2 + 0·3, 1·1 + 0·4] = [2, 1]; linha 2 dá [2·2 + 5·3, 2·1 + 5·4] = [19, 22]. Então B·A = [[2, 1], [19, 22]], diferente de A·B. O produto de matrizes não é comutativo, e essa é uma das afirmações preferidas das bancas.

Determinante e inversa

Determinante 2x2: produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Para A acima: 2 · 4 − 1 · 3 = 5.

Determinante 3x3 (regra de Sarrus). Repetem-se as duas primeiras colunas à direita, somam-se os produtos das três diagonais descendentes e subtraem-se os produtos das três ascendentes. Para a matriz [[1, 1, 1], [2, −1, 1], [1, 2, −1]] dá 7 (conferido também por cofatores).

Inversa 2x2. A inversa de [[a, b], [c, d]] é (1/D) · [[d, −b], [−c, a]], existindo apenas se D é diferente de zero. Para A = [[2, 1], [3, 4]], D = 5 e a inversa é [[4/5, −1/5], [−3/5, 2/5]]. Conferência: a primeira linha de A pela primeira coluna da inversa dá 2 · 4/5 + 1 · (−3/5) = 8/5 − 3/5 = 1. Propriedades úteis: det(A·B) = det(A) · det(B) e det(A transposta) = det(A).

Regra de Cramer (sistemas 3x3)

Resolva x + y + z = 6, 2x − y + z = 3 e x + 2y − z = 2.

D = determinante dos coeficientes = 7 (diferente de zero, logo SPD).
Dx (troca a coluna de x pelos termos independentes 6, 3, 2) = 7, então x = 7/7 = 1.
Dy = 14, então y = 2.
Dz = 21, então z = 3. Teste: 1 + 2 + 3 = 6; 2 − 2 + 3 = 3; 1 + 4 − 3 = 2. Correto.

Na prova, para sistemas 3x3 muitas vezes é mais rápido eliminar uma incógnita por adição do que calcular quatro determinantes. Aqui, somando a primeira e a segunda equações, obtém-se 3x + 2z = 9; somando a segunda e a terceira, 3x + y = 5. Com os valores achados (x = 1, z = 3, y = 2) as duas confirmam.

Problemas que viram sistemas

“Em uma sala há cadeiras e mesas, 30 peças no total, e o número de cadeiras é o dobro do de mesas mais 3.” Seja c cadeiras e m mesas: c + m = 30 e c = 2m + 3. Substituindo, 3m + 3 = 30, m = 9 e c = 21. Teste: 21 + 9 = 30 e 2 · 9 + 3 = 21.

Erros comuns

Multiplicar matrizes elemento a elemento (isso não é o produto).
Supor que A·B = B·A.
Esquecer de testar as soluções nas equações originais.
Calcular a inversa sem verificar se o determinante é zero.
Errar o sinal ao trocar de lado uma incógnita; refaça a conta com valores.

Fontes e atualização

Conteúdo clássico de matemática; não existe fonte normativa oficial para citar, e este guia é orientação prática. Todas as contas foram refeitas e testadas por substituição e por produto (A pela inversa). Confira no edital se matrizes aparecem no seu cargo; em muitos editais só sistemas e problemas são cobrados.

Próximos passos

Revise as bases em equações e inequações.
Veja funções no guia de função afim e quadrática.
Para problemas de contagem, use análise combinatória.