Função afim e quadrática: gráfico, raízes e vértice

Função é uma regra que associa cada valor de entrada a um único valor de saída. Nas provas, o foco costuma ser a função afim (o gráfico é uma reta) e a quadrática (o gráfico é uma parábola), com perguntas sobre raiz, vértice, valor máximo ou mínimo, domínio e função composta. Este guia reúne os conceitos essenciais e resolve exemplos com verificação. Se você ainda precisa treinar a resolução de equações e inequações, comece por equações e inequações do 1º e 2º grau.

Conceitos básicos

Domínio: conjunto dos valores de x para os quais a função está definida.
Contradomínio: conjunto onde ficam os resultados possíveis, segundo a definição da função.
Imagem: valores realmente atingidos por f(x).
Raiz (ou zero): valor de x em que f(x) = 0 (onde o gráfico toca o eixo x).

Para uma relação ser função, cada x do domínio tem um único f(x). No gráfico, qualquer reta vertical cruza a curva no máximo uma vez.

Domínio em casos clássicos

f(x) = 1/(x − 2): o denominador não pode ser zero; domínio: x ≠ 2.
f(x) = √(x − 3): o radicando não pode ser negativo; domínio: x ≥ 3.
f(x) = √(x − 3)/(x − 5): as duas condições juntas; domínio: x ≥ 3 e x ≠ 5.

Função afim: f(x) = ax + b

O gráfico é uma reta.

a (coeficiente angular): taxa de variação. Se a > 0, a função é crescente; se a < 0, decrescente; se a = 0, é constante.
b (coeficiente linear): valor de f(0), onde a reta corta o eixo y.
Raiz: x = −b/a (para a ≠ 0).

Exemplo 1. f(x) = 2x − 6.

a = 2 (crescente) e b = −6, logo f(0) = −6.
Raiz: 2x − 6 = 0, x = 3. Verificação: f(3) = 0.

Exemplo 2 (lei a partir de dois pontos). O gráfico passa por (1, 3) e (3, 7). Qual a lei?

a = (7 − 3)/(3 − 1) = 2.
Usando (1, 3): 3 = 2·1 + b, logo b = 1.
f(x) = 2x + 1. Verificação com (3, 7): 2·3 + 1 = 7.

Exemplo 3 (modelagem). Um serviço cobra taxa fixa de 40 unidades monetárias mais 2 por unidade produzida: C(x) = 2x + 40. O custo para 15 unidades é C(15) = 2·15 + 40 = 70. Cada unidade a mais acrescenta 2, que é justamente o coeficiente angular.

Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c

O gráfico é uma parábola.

a > 0: concavidade para cima; o vértice é o ponto de mínimo.
a < 0: concavidade para baixo; o vértice é o ponto de máximo.
c: f(0), onde a parábola corta o eixo y.
Raízes: x = (−b ± √Δ)/2a, com Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos; se Δ = 0, toca em um; se Δ < 0, não corta.
Vértice: xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a (o mesmo que calcular f(xᵥ)). O eixo de simetria é a reta x = xᵥ, no meio das raízes.

Exemplo 4. f(x) = −x² + 6x − 5.

a = −1 (concavidade para baixo), b = 6, c = −5.
Δ = 36 − 20 = 16; raízes: x = (−6 ± 4)/(−2), logo x = 1 e x = 5.
Vértice: xᵥ = −6/(−2) = 3; yᵥ = −16/(−4) = 4. Confirme: f(3) = −9 + 18 − 5 = 4.
Valor máximo: 4. A imagem é o conjunto dos y ≤ 4. Corte no eixo y: f(0) = −5.

Aplicações clássicas

Altura de um projétil. A altura h(t) = −5t² + 20t (t em segundos, h em metros).

Raízes: −5t(t − 4) = 0, logo t = 0 e t = 4. O objeto fica 4 s no ar.
Máximo no meio: t = 2, e h(2) = −20 + 40 = 20. Altura máxima: 20 m.

Receita máxima. A receita em função do preço p é R(p) = −2p² + 40p.

O vértice está em p = −40/(−4) = 10.
R(10) = −200 + 400 = 200. A receita máxima é 200 (unidades monetárias) com preço 10.
Verificação: R(9) = −162 + 360 = 198 e R(11) = −242 + 440 = 198, ambos menores.

Função composta e inversa

Composta. (f ∘ g)(x) = f(g(x)): aplica g primeiro, depois f.

Exemplo 5. f(x) = 2x + 1 e g(x) = x².

f(g(x)) = 2x² + 1 e g(f(x)) = (2x + 1)². Em geral, f ∘ g ≠ g ∘ f.
Para x = 3: f(g(3)) = f(9) = 19, e g(f(3)) = g(7) = 49.

Inversa. Existe quando a função é bijetora (cada y corresponde a um único x e todo y do contradomínio é atingido). Para achá-la, troque x e y e isole y.

Exemplo 6. f(x) = 3x − 2. Faça y = 3x − 2, então x = (y + 2)/3. Logo f⁻¹(x) = (x + 2)/3.

Teste: f(2) = 4 e f⁻¹(4) = (4 + 2)/3 = 2. Deu o valor de partida, como esperado.

A função quadrática, por ser simétrica em torno do vértice, não é injetora em todo o conjunto dos reais e, portanto, não tem inversa nesse domínio.

Classificação rápida

Tipo	Condição	Exemplo
Injetora	valores diferentes de x dão f(x) diferentes	f(x) = 2x + 1
Sobrejetora	imagem igual ao contradomínio	f: reais em reais, f(x) = x + 3
Bijetora	injetora e sobrejetora	f(x) = 3x − 2 (reais em reais)

Passo a passo para quadráticas

Identifique a, b e c e o sinal de a (concavidade).
Calcule Δ e as raízes, se pedidas.
Calcule o vértice por −b/2a.
Calcule f(0) para o corte no eixo y.
Para máximo ou mínimo, use yᵥ; para a imagem, combine yᵥ com a concavidade.
Confira substituindo ao menos um ponto.

Erros comuns

Confundir a raiz com o vértice: a raiz é onde f(x) = 0, o vértice é o extremo.
Esquecer que, com a < 0, o vértice é máximo e a imagem é “y menor ou igual a yᵥ”.
Usar xᵥ = b/2a (esquecendo o sinal de menos).
Inverter a ordem na composta: f(g(x)) usa g primeiro.
Dizer que a quadrática é crescente ou decrescente em todo o domínio: ela muda de sentido no vértice.
Esquecer as restrições de domínio com raiz e denominador.

Conferência e orientação

O conteúdo é matemática do ensino médio, sem texto normativo oficial. Todos os valores acima foram recalculados e verificados por substituição. Trata-se de orientação prática; no edital, confira se funções, gráficos e inequações constam do conteúdo programático, pois a profundidade varia entre as bancas.

Próximos passos

Una funções e gráficos em interpretação de tabelas e gráficos.
Revise a base em razão e proporção.
Pratique sequências em sequências lógicas: PA e PG.