Geometria básica: perímetro, área, volume e Pitágoras

Geometria em concurso raramente exige fórmulas raras: cobra perímetro, área, volume, Pitágoras, ângulos, semelhança e conversão de unidades. O erro mais comum não está na fórmula, e sim na unidade (metros quadrados contra centímetros quadrados) ou em esquecer que o volume é em unidade cúbica. Este guia reúne o que precisa estar na ponta da língua, com exemplos refeitos e verificados.

Perímetro e área das figuras planas

Perímetro é a soma dos lados (o contorno). Área mede a superfície.

Figura	Perímetro	Área
Quadrado de lado l	4l	l²
Retângulo b × h	2(b + h)	b · h
Triângulo (base b, altura h)	soma dos lados	b · h / 2
Paralelogramo	soma dos lados	b · h
Losango (diagonais D e d)	4l	D · d / 2
Trapézio (bases B e b, altura h)	soma dos lados	(B + b) · h / 2
Círculo de raio r	2πr (comprimento)	πr²

Nas provas, o enunciado costuma informar o valor de π; sem informação, use a aproximação indicada (por exemplo, 3,14).

Exemplo 1. Trapézio com bases 10 e 6 e altura 4: área = (10 + 6) · 4 / 2 = 32.

Exemplo 2. Círculo de raio 7 (π = 3,14): comprimento = 2 · 3,14 · 7 = 43,96; área = 3,14 · 49 = 153,86.

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é a soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c².

Exemplo 3. Catetos 9 e 12: hipotenusa² = 81 + 144 = 225, logo a hipotenusa mede 15. Terno pitagórico clássico: 3, 4, 5 e seus múltiplos (6, 8, 10; 9, 12, 15).

Exemplo 4 (diagonal). A diagonal de um retângulo de lados 6 e 8 é a hipotenusa do triângulo formado: d² = 36 + 64 = 100, logo d = 10.

Para um quadrado de lado l, a diagonal é l√2. Para o triângulo equilátero de lado l, a altura é l√3/2.

Conversão de unidades

Erros de unidade derrubam respostas corretas.

Comprimento: 1 m = 100 cm; 1 km = 1.000 m.
Área: como é um produto de duas medidas, a conversão eleva ao quadrado: 1 m² = 10.000 cm²; 1 km² = 1.000.000 m².
Volume: conversão ao cubo: 1 m³ = 1.000.000 cm³.
Capacidade: 1 dm³ = 1 litro; logo 1 m³ = 1.000 litros e 1.000 cm³ = 1 litro.

Volumes

Sólido	Volume
Cubo de aresta a	a³
Paralelepípedo (a, b, c)	a · b · c
Prisma qualquer	área da base · altura
Cilindro (raio r, altura h)	πr²h
Pirâmide e cone	área da base · altura / 3

Exemplo 5. Reservatório de 2 m × 1,5 m × 1 m: volume = 3 m³, ou 3.000 litros.

Exemplo 6. Cilindro de raio 3 e altura 10 (π = 3,14): volume = 3,14 · 9 · 10 = 282,6 unidades cúbicas. Se as medidas estiverem em cm, são 282,6 cm³, ou seja, 0,2826 litro.

Ângulos e polígonos

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados: (n − 2) · 180°.
Em polígono regular, cada ângulo interno mede (n − 2) · 180° / n; o ângulo externo mede 360° / n.
Número de diagonais: n(n − 3)/2.

Exemplo 7 (hexágono regular). n = 6: soma interna = 4 · 180° = 720°; cada ângulo = 120°; cada externo = 60°; diagonais = 6 · 3/2 = 9.

Ângulos complementares somam 90°; suplementares somam 180°. Ângulos opostos pelo vértice são iguais. Retas paralelas cortadas por transversal formam ângulos correspondentes e alternos iguais.

Semelhança, Tales e escala

Figuras semelhantes têm ângulos iguais e lados proporcionais. O teorema de Tales afirma que retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos proporcionais.

Exemplo 8. Em um feixe de paralelas, dois segmentos de uma transversal medem 4 e 6, e, na outra, os correspondentes medem x e 9. Então 4/6 = x/9, logo x = 6.

Escala. Mapa 1:50.000 significa que 1 cm no mapa equivale a 50.000 cm na realidade. Distância de 4 cm: 4 · 50.000 = 200.000 cm = 2.000 m = 2 km.

Se as figuras são semelhantes com razão de semelhança k, as áreas variam por k² e os volumes por k³. Dobrar o lado de um quadrado quadruplica a área; dobrar a aresta de um cubo multiplica o volume por 8.

Problema completo

Piso. Uma sala retangular de 5 m × 4 m será coberta com ladrilhos quadrados de 0,5 m de lado.

Área da sala: 5 · 4 = 20 m².
Área de cada ladrilho: 0,5 · 0,5 = 0,25 m².
Quantidade: 20 / 0,25 = 80 ladrilhos (sem contar perdas, que o enunciado deve informar).

Mais exercícios resolvidos

Escada. Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede, com o pé a 3 m dela. A altura atingida é um cateto: h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, logo h = 4 m.

Quadrado. A área é 144. O lado é √144 = 12 e o perímetro é 4 · 12 = 48.

Arco e setor. Em um círculo de raio 6, um setor de 60° ocupa 60/360 = 1/6 da circunferência e do círculo (π = 3,14):

comprimento do arco: (1/6) · 2 · 3,14 · 6 = 6,28;
área do setor: (1/6) · 3,14 · 36 = 18,84.

Piscina. Uma piscina de 10 m × 5 m × 2 m tem volume de 100 m³, ou 100.000 litros. Com uma vazão de 2.000 litros por minuto, ela enche em 100.000/2.000 = 50 minutos.

Passo a passo

Desenhe a figura e anote as medidas.
Identifique o que se pede: perímetro, área, volume, ângulo ou distância.
Padronize as unidades antes de calcular.
Escolha a fórmula (ou use Pitágoras/Tales para achar uma medida que falta).
Verifique se a ordem de grandeza e a unidade final fazem sentido.

Erros comuns

Confundir perímetro (comprimento) com área (superfície).
Converter 1 m² em 100 cm², esquecendo que é 10.000.
Usar altura inclinada (lateral) em vez da altura perpendicular na área do triângulo e do trapézio.
Aplicar Pitágoras em triângulo não retângulo.
Esquecer o fator 1/3 em pirâmide e cone.
Trocar raio por diâmetro no círculo.

Conferência e orientação

Geometria plana e espacial elementar é conteúdo consagrado do ensino fundamental e médio, sem norma oficial específica. Todos os cálculos acima foram refeitos e conferidos. Use π conforme o enunciado e leve o conteúdo programático do edital em conta.

Próximos passos

Treine proporções em razão e proporção.
Aplique relações em regra de três simples e composta.
Veja equações no guia de equações e inequações.