Regra de três simples e composta: grandezas direta e inversa

A regra de três serve para descobrir um valor desconhecido quando se conhece a relação entre grandezas proporcionais. A parte decisiva é classificar cada relação como direta ou inversa; depois disso a conta é mecânica.

Grandezas direta e inversamente proporcionais

• Diretamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão. Ex.: quantidade de itens comprados e valor total pago.
• Inversamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra diminui na razão inversa. Ex.: número de pessoas trabalhando e tempo para terminar a tarefa.

Teste rápido: dobre uma grandeza e pergunte o que acontece com a outra. Dobra? Direta. Cai pela metade? Inversa. Nada muda de forma proporcional? Então a regra de três não se aplica.

Regra de três simples direta

Exemplo. Cinco máquinas iguais produzem 200 peças por dia. Quantas peças produzem 8 dessas máquinas no mesmo tempo?

1. Organize as colunas: máquinas 5 → 200 peças; 8 → x.
2. Mais máquinas, mais peças: relação direta.
3. Multiplique em cruz: 5x = 8 × 200 = 1 600.
4. x = 1 600 ÷ 5 = 320 peças.

Conferência: cada máquina faz 200 ÷ 5 = 40 peças, e 8 × 40 = 320.

Regra de três simples inversa

Exemplo. Seis pedreiros constroem um muro em 10 dias. Em quantos dias 15 pedreiros, no mesmo ritmo, fariam o mesmo muro?

1. Mais pedreiros, menos dias: relação inversa.
2. Na inversa, o produto das duas grandezas é constante: 6 × 10 = 15 × x.
3. 60 = 15x, logo x = 4 dias.

Conferência: a obra equivale a 60 pedreiros-dia. Com 15 pedreiros, 60 ÷ 15 = 4.

Regra de três composta

Aparece quando há três ou mais grandezas. O procedimento padrão é:

1. Monte uma tabela com todas as grandezas.
2. Escolha a grandeza que contém a incógnita.
3. Compare, uma a uma, as outras grandezas com ela, classificando em direta ou inversa.
4. Monte a proporção: inverta a razão das grandezas inversas e mantenha a das diretas.
5. Resolva.

Exemplo 1: tudo direto

Oito operários, em 6 dias, trabalhando 5 horas por dia, constroem 120 metros de muro. Quantos metros constroem 10 operários, em 9 dias, trabalhando 4 horas por dia?

A incógnita é metros. Comparando com cada grandeza:

• Mais operários, mais metros: direta.
• Mais dias, mais metros: direta.
• Mais horas por dia, mais metros: direta.

Conta:

x = 120 × (10/8) × (9/6) × (4/5)

1. 10/8 = 1,25.
2. 9/6 = 1,5.
3. 4/5 = 0,8.
4. 1,25 × 1,5 = 1,875, e 1,875 × 0,8 = 1,5.
5. x = 120 × 1,5 = 180 metros.

Conferência pelo “metro por operário-hora”: 120 ÷ (8 × 6 × 5) = 120 ÷ 240 = 0,5 metro. Agora 10 × 9 × 4 = 360 operário-horas, e 360 × 0,5 = 180. Confere.

Exemplo 2: com grandezas inversas

Seis operários, trabalhando 8 horas por dia, terminam uma obra em 10 dias. Em quantos dias 8 operários, trabalhando 5 horas por dia, terminam a mesma obra?

A incógnita é dias. Comparando:

• Mais operários, menos dias: inversa.
• Menos horas por dia, mais dias: inversa.

Conta:

x = 10 × (6/8) × (8/5)

1. 6/8 = 0,75 (razão de operários invertida, pois a relação é inversa).
2. 8/5 = 1,6 (razão de horas invertida).
3. 0,75 × 1,6 = 1,2.
4. x = 10 × 1,2 = 12 dias.

Conferência pelo total de trabalho: 6 × 8 × 10 = 480 operário-horas. Com 8 operários e 5 horas por dia, são 40 operário-horas diárias; 480 ÷ 40 = 12 dias. Confere.

O truque da constante de trabalho

Muitas questões de rendimento ficam simples se você calcular o “total de trabalho” com as grandezas que se multiplicam (pessoas × horas × dias) e depois dividir. A conta do total de trabalho serve como prova real da regra de três composta.

Rendimento e eficiência

Quando o enunciado fala em pessoas “com a mesma capacidade”, a regra funciona direto. Se disser que um grupo é mais produtivo, inclua a produtividade como mais uma grandeza (direta com o trabalho feito).

Exemplo. Uma torneira enche um tanque em 6 horas e outra, em 3 horas. Funcionando juntas, em quanto tempo enchem?

1. Taxa da primeira: 1/6 do tanque por hora.
2. Taxa da segunda: 1/3 do tanque por hora, ou 2/6.
3. Juntas: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 do tanque por hora.
4. Tempo = 1 ÷ (1/2) = 2 horas.

Este caso não é a regra de três clássica, mas é cobrado na mesma família de problemas e se resolve com taxas.

Erros comuns

• Classificar mal a relação (direta versus inversa). O teste de dobrar resolve.
• Multiplicar em cruz numa relação inversa sem inverter.
• Misturar unidades, como horas com minutos ou metros com centímetros.
• Em regra de três composta, comparar uma grandeza com outra que não seja a da incógnita.
• Esquecer que “mesmo ritmo” é condição para aplicar o método.

Roteiro para a prova

1. Monte a tabela com unidades coerentes.
2. Marque a incógnita.
3. Classifique cada relação (direta ou inversa) em relação à incógnita.
4. Calcule e confira por outro caminho, como o total de trabalho ou o valor unitário.

Próximos passos

• Revise a base em razão e proporção: propriedades e divisão proporcional.
• Combine com porcentagem: aumentos, descontos e variações sucessivas.
• Conheça os critérios editoriais.