Semelhança de triângulos e Teorema de Tales: razões e áreas

Quando uma questão fala em sombra de um poste, mapa em escala ou retas paralelas cortadas por transversais, ela está pedindo semelhança de triângulos ou o Teorema de Tales. São dois assuntos irmãos: ambos transformam um problema de geometria numa proporção que se resolve com regra de três. Este guia ensina quando usar cada um, mostra como a razão de semelhança afeta perímetro, área e volume (e onde está a pegadinha) e resolve exemplos conferidos por cálculo.

Teorema de Tales

Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, os segmentos determinados em uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes na outra.

Em palavras: se três paralelas cortam duas transversais, e na primeira transversal os segmentos medem AB e BC, e na segunda DE e EF, então

AB ÷ BC = DE ÷ EF, ou também AB ÷ DE = BC ÷ EF.

Exemplo 1

Três retas paralelas cortam duas transversais. Na primeira, os segmentos medem 4 e 6. Na segunda, o primeiro mede 6. Quanto mede o segundo?

1. Proporção: 4 ÷ 6 = 6 ÷ x.
2. Produto cruzado: 4x = 36, logo x = 9.
3. Conferência: 4/6 = 0,666… e 6/9 = 0,666… Correto.

Exemplo 2: o primeiro tipo de armadilha

Se o enunciado fornece o segmento total em vez da parte, é preciso subtrair. Suponha que as retas determinem na primeira transversal os segmentos 3 e 5 (total 8), e que na segunda o comprimento total seja 16, com o primeiro segmento valendo 6. O segundo segmento vale 16 − 6 = 10, e a proporção correta é 3 ÷ 5 = 6 ÷ 10 (conferido: ambas valem 0,6). Se o candidato montasse 3 ÷ 8 = 6 ÷ 10, erraria, pois misturaria parte com total.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos e os lados correspondentes são proporcionais. A constante dessa proporção é a razão de semelhança k. Basta que dois ângulos de um triângulo sejam iguais a dois ângulos do outro (caso AA) para que sejam semelhantes, pois o terceiro ângulo sai da soma de 180°.

Três situações em que aparecem triângulos semelhantes:

1. Sombras: o sol incide com o mesmo ângulo sobre um poste e um prédio, e cada objeto forma, com sua sombra, um triângulo retângulo.
2. Reta paralela a um lado do triângulo: ela determina um triângulo menor semelhante ao maior (é a base do Teorema de Tales).
3. Escalas e mapas: a figura reduzida é semelhante à real.

Exemplo 3: altura pela sombra

Um poste de 2 m projeta sombra de 3 m. No mesmo instante, um prédio projeta sombra de 45 m. Qual a altura do prédio?

1. Triângulos semelhantes: altura ÷ sombra é constante.
2. 2 ÷ 3 = h ÷ 45, logo h = 2 × 45 ÷ 3 = 30 m.
3. Conferência: 30 ÷ 45 = 0,666… = 2 ÷ 3.

Exemplo 3b: reta paralela a um lado

No triângulo ABC, uma reta paralela a BC corta AB no ponto D e AC no ponto E. Se AD = 4, DB = 2 e DE = 5, quanto mede BC?

1. O triângulo ADE é semelhante ao ABC (ângulos iguais por causa das paralelas).
2. AB = AD + DB = 6, logo a razão é AD ÷ AB = 4 ÷ 6.
3. DE ÷ BC = 4 ÷ 6, então BC = 5 × 6 ÷ 4 = 7,5.

Exemplo 3c: escala de mapa

Em um mapa de escala 1:50 000, 4 cm representam 4 × 50 000 = 200 000 cm, ou seja, 2 km. Na área, a razão é o quadrado da escala: 1 cm² do mapa representa 2 500 000 000 cm² reais, que equivalem a 0,25 km². Por isso, confundir escala linear com escala de área é erro frequente.

Razão de semelhança: lados, perímetros, áreas e volumes

Esta é a parte que mais derruba candidatos. Se a razão de semelhança entre duas figuras é k:

Grandeza	Razão
Lados e demais comprimentos (alturas, perímetros)	k
Áreas	k²
Volumes	k³

Exemplo 4: triângulos 6-8-10 e 9-12-15

Os lados do segundo são 1,5 vezes os do primeiro (k = 1,5).

• Perímetros: 24 e 36, razão 1,5.
• Áreas: o primeiro é retângulo de catetos 6 e 8, área 24; o segundo, de catetos 9 e 12, área 54. A razão 54 ÷ 24 = 2,25, que é 1,5².
• Se fossem sólidos semelhantes de mesma razão, os volumes teriam razão 1,5³ = 3,375. Por exemplo, um cubo de aresta 2 tem volume 8 e um de aresta 3 tem volume 27, e 27 ÷ 8 = 3,375.

A pegadinha da banca: “dobrando-se o lado, a área dobra”. Falso: com k = 2, a área quadruplica e o volume é multiplicado por 8.

Passo a passo

1. Desenhe a figura e marque os ângulos iguais (paralelas dão ângulos iguais).
2. Identifique os lados correspondentes (opostos a ângulos iguais).
3. Monte a proporção sempre na mesma ordem: menor/maior = menor/maior.
4. Resolva pelo produto cruzado.
5. Se pedirem área ou volume, aplique k² ou k³ à razão, e não à proporção de lados.
6. Faça a conferência numérica.

Erros comuns

• Comparar lados que não se correspondem (por exemplo, hipotenusa de um com cateto de outro).
• Usar a razão de lados para área sem elevar ao quadrado.
• Em Tales, misturar o segmento parcial com o total na mesma razão.
• Montar a proporção com ordem trocada (menor/maior de um lado e maior/menor do outro).
• Esquecer que unidades devem ser iguais (se a sombra está em cm e a altura em m, converta).
• Achar que dois triângulos com a mesma altura são semelhantes.

Próximos passos

• Revise áreas e Pitágoras em geometria básica.
• Veja o raciocínio de proporção em razão e proporção.
• Acompanhe os ângulos em ângulos e polígonos.

Fontes e atualização

Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todos os exemplos numéricos foram conferidos executando código. O edital define o programa de matemática da prova; confira-o.