Ângulos e polígonos: soma dos ângulos, diagonais e circunferência

Questões de ângulos pedem poucas fórmulas, mas exigem saber qual aplicar. Este guia reúne o que mais aparece em provas: a soma dos ângulos internos de um triângulo e de um polígono, o ângulo externo, o número de diagonais, os ângulos formados por paralelas e transversais e a relação entre ângulo central e inscrito na circunferência. Todos os exemplos foram conferidos por cálculo e há um quadro de erros ao final.

Triângulos

A soma dos ângulos internos é 180°.
O ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
No triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais; no equilátero, os três valem 60°.

Exemplo 1

Um triângulo isósceles tem ângulos da base de 50° cada. O ângulo do vértice é 180 − 2 × 50 = 80°. Se prolongarmos um lado de um triângulo com ângulos internos 50° e 60°, o ângulo externo adjacente ao terceiro vértice mede 50 + 60 = 110°, e de fato 180 − 70 = 110.

Polígonos convexos

Para um polígono de n lados:

Grandeza	Fórmula	Exemplo (n = 8)
Soma dos ângulos internos	(n − 2) × 180°	6 × 180 = 1 080°
Soma dos ângulos externos	360° (qualquer n)	360°
Número de diagonais	n(n − 3) ÷ 2	8 × 5 ÷ 2 = 20
Ângulo interno do polígono regular	(n − 2) × 180° ÷ n	135°
Ângulo externo do polígono regular	360° ÷ n	45°

A fórmula das diagonais vem da contagem: cada vértice se liga a n − 3 outros (não a si mesmo nem aos dois vizinhos), e dividimos por 2 para não contar a mesma diagonal duas vezes.

Exemplo 2: de quantos lados é o polígono?

Um polígono convexo tem 20 diagonais. Quantos lados ele tem?

n(n − 3) ÷ 2 = 20, logo n² − 3n − 40 = 0.
Raízes: n = 8 ou n = −5. Só serve n = 8.
Conferência por força bruta: o único n com 20 diagonais é 8.

Exemplo 3: do ângulo ao número de lados

O ângulo interno de um polígono regular mede 150°. Quantos lados tem?

O ângulo externo é 180 − 150 = 30°.
A soma dos externos é 360°, logo n = 360 ÷ 30 = 12.
Conferência: (12 − 2) × 180 ÷ 12 = 150. Correto.

O caminho pelo ângulo externo é mais rápido que montar a equação com (n − 2).

Outros valores úteis, conferidos: hexágono regular, interno 120° e externo 60°; eneágono (9 lados), interno 140° e 27 diagonais.

Exemplo 2b: ângulos em progressão

Os ângulos internos de um quadrilátero convexo estão na proporção 1 : 2 : 3 : 4. Quanto mede cada um?

A soma dos internos de um quadrilátero é (4 − 2) × 180 = 360°.
Seja x o menor: x + 2x + 3x + 4x = 10x = 360, logo x = 36.
Os ângulos medem 36°, 72°, 108° e 144° (soma 360°, conferida).

Outra conferência de diagonais: o heptágono (7 lados) tem 7 × 4 ÷ 2 = 14 diagonais.

Paralelas cortadas por uma transversal

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, formam-se oito ângulos, que só assumem dois valores: um ângulo α e o seu suplemento (180° − α).

Par de ângulos	Relação
Correspondentes	Iguais
Alternos internos	Iguais
Alternos externos	Iguais
Colaterais internos ou externos	Somam 180°
Opostos pelo vértice	Iguais

Exemplo 4

Se um dos ângulos agudos mede 70°, os agudos medem 70° e os obtusos 110°. Um ângulo colateral interno a um de 70° mede 110°.

Circunferência: ângulo central e inscrito

Ângulo central tem vértice no centro; sua medida é igual à do arco que ele determina.
Ângulo inscrito tem vértice na circunferência; sua medida é metade da do arco que subtende, ou seja, metade do ângulo central correspondente.
Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência (isto é, que enxerga um diâmetro) é reto: 90°.

Exemplo 5

Um ângulo central de 80° subtende o mesmo arco que um ângulo inscrito de 40°. Um triângulo inscrito que tem um lado igual ao diâmetro tem um ângulo reto no vértice oposto a esse lado, e então os outros dois ângulos somam 90°.

Passo a passo

Identifique a figura (triângulo, polígono, paralelas, circunferência).
Escolha a regra: soma de 180° (triângulo), (n − 2) × 180° (polígono), 360° (externos), metade do arco (inscrito).
Monte a equação com a incógnita e resolva.
Verifique se o resultado é coerente (ângulo interno de convexo entre 0° e 180°).

Erros comuns

Usar 180° como soma dos internos de qualquer polígono (vale só para o triângulo).
Esquecer que a soma dos ângulos externos é 360° independentemente de n.
Calcular diagonais como n(n − 1) ÷ 2, que é a conta dos segmentos entre todos os pares de vértices, incluindo os lados.
Confundir ângulo inscrito (metade do arco) com ângulo central (igual ao arco).
Aplicar a regra das paralelas sem conferir se as retas são paralelas.
Misturar graus e radianos sem conversão.

Próximos passos

Conecte com semelhança de triângulos e Teorema de Tales.
Revise áreas e Pitágoras em geometria básica.
Treine equações em equações e inequações do 1º e 2º grau.

Fontes e atualização

Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todos os exemplos numéricos foram conferidos executando código. O edital define o programa de matemática da prova; confira-o.