Anagramas, permutação com repetição e circular, com restrições

Depois de dominar o princípio multiplicativo, a contagem de concurso passa a exigir quatro adaptações: lidar com elementos repetidos, tratar elementos “colados”, contar arranjos em círculo e usar o complementar em “pelo menos um”. Este guia trata dessas variações com exemplos resolvidos. Para a base (multiplicação, permutação simples, arranjo e combinação), veja análise combinatória básica.

Relembrando as fórmulas

Permutação simples de n elementos distintos: n! (n fatorial). Exemplo: 5! = 120.
Combinação de n elementos tomados p a p, quando a ordem não importa: C(n, p) = n! / (p! x (n - p)!).
Arranjo de n elementos tomados p a p, quando a ordem importa: A(n, p) = n! / (n - p)!.

Pergunta-chave: a ordem muda o resultado? Se trocar a ordem gera uma situação diferente (senha, fila, anagrama), é arranjo ou permutação. Se não gera (comissão, grupo), é combinação.

1. Permutação com elementos repetidos

Quando há letras iguais, trocar duas delas não produz anagrama novo. Divida pelo fatorial de cada repetição:

P = n! / (a! x b! x …)

Exemplo 1. Quantos anagramas tem a palavra CONCURSO? Ela tem 8 letras: C, O, N, C, U, R, S, O. O C aparece 2 vezes e o O aparece 2 vezes. Então: 8! / (2! x 2!) = 40320 / 4 = 10080.

Exemplo 2. Quantos anagramas de BRASILIA começam com B? Fixada a primeira letra, restam 7 letras: R, A, S, I, L, I, A, com A repetido 2 vezes e I repetido 2 vezes. Então: 7! / (2! x 2!) = 5040 / 4 = 1260.

Observação: um anagrama não precisa ter significado na língua. Basta ser uma reorganização das letras.

2. Elementos que devem ficar juntos

Trate o grupo “colado” como um único bloco, conte as permutações dos blocos e multiplique pelas permutações internas do grupo.

Exemplo 3. Quantos anagramas de CADERNO têm as três vogais (A, E, O) juntas? A palavra tem 7 letras distintas. Bloco das vogais + 4 consoantes (C, D, R, N) = 5 elementos para permutar: 5! = 120. Dentro do bloco, as vogais permutam: 3! = 6. Total: 120 x 6 = 720.

Variação: elementos que não podem ficar juntos. Calcule o total e subtraia os casos “juntos”. No mesmo exemplo, o total de anagramas de CADERNO é 7! = 5040. Com as vogais juntas, 720. Logo, anagramas em que as vogais não estão todas juntas: 5040 - 720 = 4320.

3. Permutação circular

Em uma mesa redonda, o que importa é a posição relativa: girar todos um lugar não gera arrumação nova. Fixe uma pessoa e permute as demais:

PC(n) = (n - 1)!

Exemplo 4. De quantas maneiras 6 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda? (6 - 1)! = 5! = 120.

Exemplo 5. Com 6 pessoas na mesa, duas delas, Ana e Bia, precisam ficar lado a lado. Trate-as como um bloco: 5 elementos na mesa, o que dá (5 - 1)! = 24 arrumações. Dentro do bloco, Ana e Bia trocam de lugar: 2! = 2. Total: 24 x 2 = 48.

Cuidado: se a mesa tiver lugares numerados ou distinguíveis, a rotação passa a gerar arrumações diferentes e volta-se a n!. O enunciado costuma dizer.

4. “Pelo menos um”: use o complementar

Contar “pelo menos um” diretamente exige somar vários casos. É mais simples calcular o total e subtrair o caso que não interessa (“nenhum”).

Exemplo 6. Uma comissão de 4 pessoas será formada entre 5 homens e 4 mulheres. Quantas comissões têm pelo menos uma mulher? Total de comissões: C(9, 4) = 9! / (4! x 5!) = 126. Comissões sem nenhuma mulher (só homens): C(5, 4) = 5. Resposta: 126 - 5 = 121.

5. Sequências sem repetição e com repetição

Exemplo 7. Quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser formadas com os algarismos de 0 a 9? 10 x 9 x 8 x 7 = 5040.

Exemplo 8. E se os dígitos puderem se repetir? 10 x 10 x 10 x 10 = 10000. Aqui não há restrição de repetição, e cada posição tem 10 opções.

Quando há restrição sobre uma posição específica (por exemplo, “o primeiro dígito não pode ser 0”), comece pela posição restrita. Para números de 4 algarismos distintos: primeira posição 9 opções (1 a 9), segunda 9 (os 10 menos o já usado), terceira 8, quarta 7. Total: 9 x 9 x 8 x 7 = 4536.

6. Distribuindo objetos iguais

Quantas soluções inteiras não negativas tem x + y + z = 7? Imagine 7 bolinhas idênticas separadas por 2 divisórias (que formam 3 grupos). Há 9 posições no total (7 bolinhas + 2 divisórias), e basta escolher onde ficam as 2 divisórias: C(9, 2) = 36.

A regra geral para distribuir n objetos iguais em k caixas (com caixas podendo ficar vazias) é C(n + k - 1, k - 1). Aqui, n = 7, k = 3: C(9, 2) = 36. Se cada caixa tivesse de receber pelo menos um objeto, distribua um para cada primeiro e conte o resto: restam 4 objetos para 3 caixas, C(6, 2) = 15.

Roteiro de resolução

Identifique se a ordem importa.
Veja se há elementos repetidos (divida) ou restrições (comece pelo mais restrito).
Se há “juntos”, use bloco; se há “não juntos” ou “pelo menos um”, use o complementar.
Se é circular, fixe um elemento.
Faça uma conferência rápida de ordem de grandeza: o resultado não pode superar o total sem restrições.

Erros comuns

Esquecer de dividir pelas repetições nos anagramas.
Contar duas vezes o mesmo caso quando soma casos que se sobrepõem. Para “pelo menos um”, prefira o complementar.
Usar combinação onde a ordem importa, ou o contrário.
Aplicar (n - 1)! em mesas com lugares numerados.
Fatoriais mal calculados: 7! = 5040 e 8! = 40320 aparecem muito; memorize até 8!.

Próximos passos

Passe da contagem à chance com probabilidade básica: eventos, complementar e união.
Organize os problemas por tipo com resolução de questões por banca.
Revise padrões em sequências lógicas: progressões.

Fontes e atualização

Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo de raciocínio lógico lista princípios de contagem e probabilidade.
Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de Raciocínio Lógico e Matemático lista problemas de contagem e noções de probabilidade.

Todas as contas foram conferidas. Os editais mudam: confira o conteúdo do seu concurso.