Combinação com restrições: comissões, grupos e o complementar

Formar uma comissão, um grupo de trabalho ou uma equipe de plantão é o enunciado preferido de análise combinatória. A dificuldade quase nunca está na fórmula da combinação, e sim nas restrições: “pelo menos uma mulher”, “exatamente dois técnicos”, “A e B não podem ficar juntos”, “C obrigatoriamente participa”. Este guia ensina a traduzir cada restrição em conta, apresenta o método do complementar e confere todos os resultados por enumeração no computador.

A ferramenta: combinação

Em uma combinação, a ordem não importa. O número de maneiras de escolher k elementos entre n é

C(n, k) = n! ÷ [k! × (n − k)!]

Alguns valores usados abaixo: C(10, 4) = 210, C(6, 4) = 15, C(8, 2) = 28, C(9, 3) = 84.

Teste para decidir entre combinação e arranjo: se trocar a ordem dos escolhidos gera o mesmo grupo, é combinação (comissão de 4 pessoas). Se gera situação diferente (presidente e secretário), há ordem e é arranjo, ou combinação mais organização dos cargos.

Cenário comum: 10 pessoas, 6 homens e 4 mulheres, comissão de 4

Sem restrição: C(10, 4) = 210 comissões.

Restrição	Raciocínio	Conta	Resultado
Exatamente 2 mulheres	2 das 4 mulheres e 2 dos 6 homens	C(4,2) × C(6,2) = 6 × 15	90
Pelo menos 1 mulher	Todas menos as só de homens	C(10,4) − C(6,4) = 210 − 15	195
Pessoa A obrigatoriamente	Fixa A, escolhe 3 entre as 9 restantes	C(9,3)	84
Pessoas A e B não juntas	Todas menos as que têm A e B	C(10,4) − C(8,2) = 210 − 28	182

Todos esses valores foram conferidos por código, listando as 210 comissões e contando as que satisfazem cada condição.

O método do complementar

Quando a restrição é “pelo menos um” ou “não juntos”, contar diretamente é trabalhoso: “pelo menos 1 mulher” são as comissões com 1, 2, 3 ou 4 mulheres (quatro casos). É mais curto contar o total e subtrair o complemento, isto é, o que não satisfaz a condição:

Resposta = Total − (casos que violam a condição)

“Pelo menos 1 mulher” tem como complemento “nenhuma mulher” (só homens).
“A e B não juntos” tem como complemento “A e B juntos” (escolhe os 2 restantes entre 8: C(8, 2) = 28).

Confirmação do exemplo “pelo menos 1 mulher” por soma direta: C(4,1)C(6,3) + C(4,2)C(6,2) + C(4,3)C(6,1) + C(4,4)C(6,0) = 80 + 90 + 24 + 1 = 195. Mesmo resultado, em quatro parcelas em vez de uma subtração.

Quando há cargos (ordem entre alguns)

Para escolher, entre 10 pessoas, um presidente, um secretário e mais 2 membros:

Presidente: 10 opções.
Secretário: 9 opções (outra pessoa).
Dois membros entre as 8 restantes: C(8, 2) = 28.
Total: 10 × 9 × 28 = 2 520 (conferido).

A lógica: há ordem só nos dois cargos, e não há ordem entre os membros comuns.

Duas restrições ao mesmo tempo

“Comissão de 4 com exatamente 2 mulheres, e a mulher M1 obrigatoriamente incluída.”

Fixa M1. Falta 1 mulher entre as 3 restantes: C(3, 1) = 3.
Escolhe 2 homens entre 6: C(6, 2) = 15.
Total: 3 × 15 = 45.

Use sempre o princípio multiplicativo entre as escolhas independentes (mulheres e homens) e a combinação dentro de cada grupo.

Grupos de uma mesma turma: divisão em equipes

Dividir 10 pessoas em dois grupos de 5 sem nomes (grupo A e grupo B idênticos) conta cada divisão duas vezes se você usar C(10, 5) = 252. A resposta correta é 252 ÷ 2 = 126. Se os grupos têm nomes distintos (por exemplo, “plantão da manhã” e “plantão da tarde”), a resposta é 252.

Passo a passo

Pergunte: a ordem importa? (comissão: não; cargos: sim).
Liste as restrições e classifique cada uma: “exatamente”, “pelo menos”, “no máximo”, “obrigatório”, “proibido”.
Se aparecer “pelo menos um” ou “não juntos”, use o complementar.
Multiplique as escolhas independentes e some os casos excludentes.
Teste com números pequenos para validar a lógica antes de calcular os grandes.

Erros comuns

Usar arranjo quando a ordem não importa, inflando o resultado.
Contar “pelo menos um” somando só o caso de um elemento.
Esquecer de somar casos excludentes e multiplicar escolhas independentes.
Em “não juntos”, subtrair C(n−2, k−2) mas errar o k.
Contar duas vezes uma divisão em grupos idênticos.
Esquecer que “pessoa obrigatória” reduz n e k simultaneamente (C(9, 3), não C(10, 3)).

Próximos passos

Revise as bases em análise combinatória básica.
Veja permutações com repetição em anagramas, permutação com repetição e circular.
Ligue com chances em probabilidade básica.

Fontes e atualização

Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todos os resultados foram conferidos executando código (enumeração exaustiva das comissões). O edital define o programa de raciocínio lógico da prova; confira-o.