Dados agrupados em classes: histograma, média, mediana e moda

Quando há muitos dados, listá-los um a um é inviável. Agrupam-se então em classes (intervalos) e conta-se quantas observações caem em cada uma. Daí nasce a tabela de frequências e o histograma. Em prova, a questão pede média, mediana ou moda a partir da tabela, sem os dados brutos, e a conta tem passos próprios. Se você precisa revisar os conceitos com dados simples, veja estatística descritiva.

Vocabulário

• Frequência absoluta (f): quantidade de observações na classe.
• Frequência relativa: f dividido pelo total (n); costuma ser dada em fração ou percentual.
• Frequência acumulada (F): soma das frequências até a classe.
• Amplitude da classe (h): limite superior menos limite inferior.
• Ponto médio da classe: (limite inferior + limite superior) / 2.
• Classe modal: a de maior frequência.
• Convenção do intervalo: a notação [10, 20) significa “de 10 inclusive até 20 exclusive”. Cada valor pertence a uma só classe.

O histograma

O histograma é um gráfico de barras justapostas (sem espaços), uma por classe, com a altura proporcional à frequência (quando as classes têm a mesma amplitude). Ele mostra a forma da distribuição: simétrica, assimétrica à direita (cauda longa para valores altos) ou à esquerda. Diferença para o gráfico de barras comum: no histograma, as barras representam intervalos de uma variável contínua, e por isso encostam umas nas outras.

Exemplo

Tempo de atendimento (em minutos) de 40 atendimentos em um balcão:

Classe (minutos)	f	F	Ponto médio (x)
[0, 10)	4	4	5
[10, 20)	10	14	15
[20, 30)	16	30	25
[30, 40)	8	38	35
[40, 50)	2	40	45
Total	40

Média

A média usa o ponto médio de cada classe como representante e a frequência como peso:

Média = Σ(f x x) / n

• 4 x 5 = 20
• 10 x 15 = 150
• 16 x 25 = 400
• 8 x 35 = 280
• 2 x 45 = 90

Soma: 20 + 150 + 400 + 280 + 90 = 940. Média = 940 / 40 = 23,5 minutos.

É uma aproximação: supomos que as observações de cada classe estão concentradas no ponto médio. Com os dados brutos, o valor seria um pouco diferente.

Mediana

1. Calcule n/2 = 40/2 = 20.
2. Encontre a classe mediana: a primeira em que a frequência acumulada alcança ou supera 20. As acumuladas são 4, 14 e 30; é a classe [20, 30).
3. Aplique a fórmula de interpolação:

Mediana = l + [(n/2 - F anterior) / f] x h

onde l é o limite inferior da classe mediana (20), F anterior é a acumulada da classe anterior (14), f é a frequência da classe mediana (16) e h é a amplitude (10).

Mediana = 20 + [(20 - 14) / 16] x 10 = 20 + 0,375 x 10 = 20 + 3,75 = 23,75 minutos.

Interpretação: pressupõe que os dados estão distribuídos de modo uniforme dentro da classe.

Moda

• Moda bruta: o ponto médio da classe modal. Aqui, classe [20, 30), moda bruta = 25.
• Moda de Czuber (refinada): Mo = l + [Δ1 / (Δ1 + Δ2)] x h, onde Δ1 é a frequência da classe modal menos a da classe anterior (16 - 10 = 6) e Δ2 é a frequência da classe modal menos a da posterior (16 - 8 = 8).

Mo = 20 + [6 / (6 + 8)] x 10 = 20 + 0,4286 x 10, aproximadamente 24,29 minutos.

Em provas, o enunciado diz qual método usar. Na dúvida, a moda bruta é a mais simples. Existem outras fórmulas (King, Pearson), que dão resultados distintos.

Variância e desvio padrão

Com a média de 23,5, calcule Σ f x (x - média)²:

x	x - 23,5	(x - 23,5)²	f x (x - 23,5)²
5	-18,5	342,25	1.369
15	-8,5	72,25	722,5
25	1,5	2,25	36
35	11,5	132,25	1.058
45	21,5	462,25	924,5

Soma: 1.369 + 722,5 + 36 + 1.058 + 924,5 = 4.110. Variância populacional = 4.110 / 40 = 102,75. Desvio padrão = raiz de 102,75, aproximadamente 10,14 minutos. Para a versão amostral, divida por n - 1 = 39. O significado de cada versão está em variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Comparando as medidas

Relação geral para distribuições unimodais:

• Simétrica: média, mediana e moda coincidem.
• Assimétrica à direita (cauda longa para valores altos): média > mediana > moda.
• Assimétrica à esquerda (cauda longa para valores baixos): média < mediana < moda.

No exemplo, a média é 23,5, a mediana é 23,75 e a moda de Czuber é cerca de 24,29. A ordem média < mediana < moda indica uma assimetria leve à esquerda, mas as três medidas estão muito próximas: na prática, a distribuição é quase simétrica. Em provas, o enunciado costuma dar os três valores e perguntar o tipo de assimetria: aplique a ordem acima.

Frequência relativa e percentual

As frequências relativas são f/n: 4/40 = 10%; 10/40 = 25%; 16/40 = 40%; 8/40 = 20%; 2/40 = 5%. A soma é 100%. Perguntas do tipo “qual a proporção de atendimentos com menos de 30 minutos?” usam a acumulada: 30/40 = 75%.

Como resolver a questão

1. Identifique n e as classes. Confira a soma das frequências.
2. Para a média, calcule os pontos médios e Σ(f x x).
3. Para a mediana, ache a classe com n/2 e aplique a fórmula de interpolação.
4. Para a moda, use a classe de maior frequência (e a fórmula que a questão indicar).
5. Confira o resultado com o bom senso: a média e a mediana devem cair dentro do intervalo dos dados.

Erros comuns

• Usar o limite inferior da classe, e não o ponto médio, no cálculo da média.
• Procurar a classe mediana com n/2 sem usar a frequência acumulada.
• Esquecer F anterior na fórmula da mediana.
• Confundir histograma com gráfico de barras.
• Tratar o resultado da média agrupada como exato.

Próximos passos

• Treine a leitura de gráficos em interpretação de tabelas e gráficos.
• Veja os quartis em quartis, percentis e boxplot.
• Estude a seleção de dados em amostragem.

Fontes e atualização

• Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo de raciocínio lógico lista histogramas e curvas de frequência e medidas de posição (média, moda e mediana).
• Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de uma especialidade de análise de dados lista histogramas e curvas de frequência.

As contas foram conferidas. As fórmulas de moda variam entre bancas: siga a indicada no enunciado.