Distribuição de Poisson: eventos por intervalo, com cálculos

A distribuição de Poisson modela a contagem de eventos que ocorrem ao acaso em um intervalo de tempo ou de espaço: chamadas que chegam a uma central por hora, falhas por quilômetro de cabo, erros de digitação por página. Ela aparece em provas de estatística, de cargos de análise e de tecnologia. O assunto é pequeno, mas cheio de pegadinhas de unidade. Este guia traz a fórmula, os três cálculos mais cobrados e os erros típicos, tudo conferido.

Matéria de estatística, sem norma aplicável.

Quando a distribuição de Poisson se aplica

Use Poisson quando:

você conta ocorrências de um evento em um intervalo fixo (tempo, área, comprimento);
as ocorrências são independentes entre si;
a taxa média de ocorrência é constante e conhecida;
dois eventos não ocorrem exatamente no mesmo instante.

A variável X é o número de ocorrências no intervalo. Compare com a distribuição binomial: na binomial há um número fixo de tentativas e uma probabilidade de sucesso em cada uma; na Poisson, não existe número de tentativas, só uma taxa média no intervalo.

A fórmula

Se λ (lambda) é o número médio de ocorrências no intervalo considerado:

P(X = k) = e^(−λ) × λ^k / k!

em que e vale aproximadamente 2,71828 e k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 6). Uma propriedade que as bancas adoram: na Poisson, a média e a variância são iguais a λ.

Exemplo 1: probabilidades pontuais

Uma central recebe, em média, 3 chamadas por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 2 chamadas em uma hora?

λ = 3 e k = 2.
e^(−3) = 0,049787.
λ^k = 3² = 9 e k! = 2.
P(X = 2) = 0,049787 × 9 / 2 = 0,2240.

A tabela completa dos primeiros valores, para λ = 3, é:

k	P(X = k)
0	0,0498
1	0,1494
2	0,2240
3	0,2240
4	0,1680
5	0,1008

Note que P(2) e P(3) são iguais quando λ é inteiro: P(λ) = P(λ − 1). Isso acontece porque a razão P(k+1)/P(k) = λ/(k+1) vale 1 quando k + 1 = λ.

Exemplo 2: acumuladas

Com λ = 3 chamadas por hora, qual a probabilidade de receber no máximo 2 chamadas? E de receber pelo menos 3?

P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232.
P(X ≥ 3) é o complementar de P(X ≤ 2): 1 − 0,4232 = 0,5768.

O truque de “pelo menos” usar o complementar economiza soma infinita. É a mesma ideia de probabilidade básica com complementar.

Exemplo 3: mudando o intervalo

Esta é a pegadinha mais comum. A taxa λ tem que estar na mesma unidade do intervalo da pergunta, e ela é proporcional ao tamanho do intervalo.

Enunciado: em média, 2 falhas ocorrem por hora em um equipamento. Qual a probabilidade de nenhuma falha em 2 horas?

Taxa para 2 horas: λ = 2 × 2 = 4.
P(X = 0) = e^(−4) × 4⁰ / 0! = e^(−4) × 1 / 1 = 0,0183.

Se você usasse λ = 2 sem converter, acharia 0,1353, que é a probabilidade para 1 hora. A banca coloca essa resposta entre as alternativas.

Aproximação da binomial

Quando o número de tentativas n é grande e a probabilidade de sucesso p é pequena, a binomial pode ser aproximada por uma Poisson com λ = n × p. É a razão do nome “lei dos eventos raros”. A prova normalmente dá a aproximação como permitida e pede o cálculo com Poisson. Verifique se o enunciado autoriza: se pedir o valor exato da binomial, não use a aproximação.

Resumo de conferência

Média e variância: ambas iguais a λ.
Desvio padrão: raiz de λ. Para λ = 3: aproximadamente 1,73.
Valor mais provável: o inteiro igual a λ (e também λ − 1 quando λ é inteiro).
Para intervalos diferentes, λ cresce na mesma proporção.

Erros comuns

Usar λ do intervalo errado. Converta antes de calcular.
Esquecer que 0! = 1, o que anula erros no cálculo de P(0).
Confundir com binomial quando o enunciado não dá n nem p, mas apenas uma média.
Somar probabilidades de eventos “pelo menos” diretamente em vez do complementar.
Arredondar e^(−λ) muito cedo. Mantenha ao menos 4 casas.

Passo a passo para qualquer questão

Identifique o evento e o intervalo da pergunta.
Converta a taxa média para esse intervalo (isso é o λ).
Escolha a pergunta: exato (fórmula), no máximo (soma até k), pelo menos (complementar).
Calcule e^(−λ) uma só vez e reutilize.
Confira se a soma de todas as probabilidades possíveis é 1 (em tabela longa, perto de 1).

Próximos passos

Leia a distribuição binomial, a distribuição normal e o escore z e a variância e desvio padrão.

Fontes e atualização

Assunto de estatística, sem norma aplicável. Valores calculados pela fórmula e conferidos por programa. O edital define se a banca fornece tabelas ou valores de e^(−λ); use os fornecidos e veja a metodologia do site.