Equivalência de capitais a juros compostos: renegociar uma dívida

Renegociar uma dívida é o cenário clássico de equivalência de capitais: o devedor deixa de pagar em certas datas e passa a pagar em outras, sem que ninguém ganhe ou perca. Em juros compostos, dois conjuntos de pagamentos são equivalentes quando têm o mesmo valor em qualquer data de comparação, a chamada data focal. Este guia ensina o método, resolve uma renegociação completa e mostra a prova real do resultado.

Assunto de matemática financeira, sem norma. As contas foram feitas duas vezes, à mão e por programa.

A regra de ouro

Dois fluxos de pagamentos são equivalentes a uma taxa i se, levados para a mesma data, têm o mesmo valor. Em juros compostos, vale uma propriedade importante: a escolha da data focal não altera o resultado da equivalência. Se os fluxos são equivalentes na data zero, também são em qualquer outra data. Em juros simples isso não vale, e por isso o enunciado precisa dizer qual é a data focal naquele regime. Se quiser rever o caso linear, leia desconto simples e equivalência de capitais.

Na prática, a data focal que simplifica a conta é a que concentra o maior número de pagamentos desconhecidos, ou a data zero quando tudo é ligado ao valor presente.

Passo a passo do método

Desenhe a linha do tempo com as datas e os valores dos dois planos (original e novo).
Escolha a data focal (aqui, a data zero).
Leve cada pagamento do plano original à data focal: divida por (1 + i) elevado ao número de períodos entre a data do pagamento e a focal.
Faça o mesmo para o plano novo, deixando a incógnita.
Iguale os dois valores presentes e resolva a equação.
Confira levando o plano novo a outra data focal.

Exemplo resolvido

Uma dívida será paga em duas parcelas: 1.000 unidades monetárias daqui a 1 mês e 2.000 daqui a 3 meses. O devedor propõe trocar por duas parcelas iguais, uma daqui a 2 meses e outra daqui a 4 meses. A taxa é de 10% ao mês, juros compostos. Qual é o valor de cada nova parcela?

Passo 1: valor presente do plano original

Parcela de 1.000 em 1 mês: 1.000 / 1,10 = 909,09.
Parcela de 2.000 em 3 meses: 2.000 / 1,10³ = 2.000 / 1,331 = 1.502,63.
Total na data zero: 909,09 + 1.502,63 = 2.411,72.

Passo 2: valor presente do plano novo

Com x em cada parcela, temos x/1,10² + x/1,10⁴ = x × (1/1,21 + 1/1,4641) = x × (0,826446 + 0,683013) = x × 1,509459.

Passo 3: igualar

x × 1,509459 = 2.411,72, logo x = 2.411,72 / 1,509459 = 1.597,74.

Cada nova parcela é de 1.597,74 unidades monetárias.

Passo 4: prova real em outra data focal

Leve os dois planos à data 4 (quatro meses à frente).

Plano original: 1.000 × 1,10³ + 2.000 × 1,10¹ = 1.331,00 + 2.200,00 = 3.531,00.
Plano novo: 1.597,74 × 1,10² + 1.597,74 = 1.597,74 × 1,21 + 1.597,74 = 1.933,27 + 1.597,74 = 3.531,01.

A diferença de 0,01 é arredondamento. Os dois planos valem o mesmo na data 4, o que confirma o resultado e também a propriedade de que a data focal não importa no regime composto.

Variações comuns do enunciado

Pagamento único

“Trocar tudo por um único pagamento daqui a 2 meses.” Leve o plano original à data 2: 2.411,72 × 1,21 = 2.918,18. O pagamento único de 2.918,18 daqui a 2 meses equivale ao plano original. Conferindo pela outra via: 1.000 × 1,10 + 2.000 / 1,10 = 1.100,00 + 1.818,18 = 2.918,18.

Entrada mais saldo

“Pagar uma entrada hoje e o restante em uma parcela daqui a 3 meses.” A entrada vale seu próprio valor na data zero (sem desconto). Monte: entrada + parcela/1,331 = 2.411,72, e resolva para a incógnita que sobrar.

Parcelas diferentes por um fator

Se o novo plano tem parcelas em proporção (por exemplo, a segunda é o dobro da primeira), escreva as duas em função de x e iguale do mesmo modo.

Erros comuns

Multiplicar quando devia dividir. Para levar um pagamento futuro à data zero, divide-se por (1 + i)^n. Para levar a data zero a uma data futura, multiplica-se.
Contar o expoente errado. O expoente é a distância entre a data do pagamento e a data focal, não a data absoluta.
Esquecer de somar um dos pagamentos ao montar a equação.
Trocar taxa mensal por anual sem converter. Veja taxas proporcional, equivalente e efetiva.
Aplicar a propriedade de juros compostos a um enunciado de juros simples.

Como a prova costuma cobrar

A forma mais comum é “o devedor propõe substituir o plano A pelo plano B; determine o valor da parcela” ou “determine o prazo do pagamento único”. Em provas mais difíceis, a banca fornece o valor de (1 + i)^n em tabela. O ponto de atenção é sempre o mesmo: a conta correta de cada expoente. Faça a linha do tempo no papel antes de calcular.

Próximos passos

Estude séries uniformes de pagamentos, compare o modelo com o desconto composto e revise juros simples e compostos.

Fontes e atualização

Matemática financeira, sem norma aplicável. Resultados verificados por cálculo independente, inclusive a prova real em outra data focal. Confira o edital para ver o programa de matemática financeira e, na prova, se a banca fornece tabelas. Veja a metodologia do site.