Esperança matemática: valor esperado, jogo justo e decisão

A esperança matemática, ou valor esperado, é a média que você obteria se repetisse um experimento aleatório muitas vezes. Ela aparece em provas de estatística e de raciocínio lógico quando o enunciado fala em “ganho médio”, “prêmio esperado” ou “custo esperado”. Este guia define a esperança, resolve três exemplos completos, mostra a relação com a variância e lista as pegadinhas. Todas as contas foram conferidas.

Matéria de estatística e probabilidade, sem norma aplicável.

Definição

Para uma variável aleatória discreta X com valores x₁, x₂, … e probabilidades p₁, p₂, …, a esperança é:

E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + …

É uma média ponderada pelas probabilidades. Duas observações importantes: a soma das probabilidades deve ser 1, e a esperança não precisa ser um valor que a variável realmente assume (a esperança de um dado comum é 3,5).

Exemplo 1: o jogo do dado

Um jogo paga 5 unidades se sair a face 6 em um dado honesto e cobra 1 unidade se sair qualquer outra face. Qual é o ganho esperado por partida?

Probabilidade de ganhar: 1/6; de perder: 5/6.
E(X) = 5 × (1/6) + (−1) × (5/6) = 5/6 − 5/6 = 0.

O ganho esperado é zero: este é um jogo justo. Um jogo é justo quando a esperança do ganho do jogador é zero. Se o prêmio fosse 4, a esperança seria 4/6 − 5/6 = −1/6 (negativa, jogo desfavorável ao jogador); se fosse 6, seria 6/6 − 5/6 = 1/6 (favorável).

Exemplo 2: tabela de distribuição

Uma variável X assume os valores 0, 1 e 2 com probabilidades 0,2, 0,5 e 0,3.

Confira a soma: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1.
E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3 = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.
Para a variância, calcule E(X²) = 0² × 0,2 + 1² × 0,5 + 2² × 0,3 = 0 + 0,5 + 1,2 = 1,7.
Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 1,7 − 1,21 = 0,49.
Desvio padrão = raiz de 0,49 = 0,7.

A fórmula Var(X) = E(X²) − [E(X)]² é a mais usada em prova. Veja o conceito de dispersão em variância e desvio padrão.

Propriedades que valem pontos

Para constantes a e b:

E(a) = a (a esperança de uma constante é ela mesma).
E(aX + b) = a·E(X) + b.
E(X + Y) = E(X) + E(Y), sempre, mesmo que X e Y sejam dependentes.
Var(aX + b) = a²·Var(X): somar uma constante não muda a variância; multiplicar por a multiplica por a².

Exemplo: no caso da tabela acima, Y = 2X + 3 tem E(Y) = 2 × 1,1 + 3 = 5,2 e Var(Y) = 4 × 0,49 = 1,96.

Exemplo 3: decisão sob incerteza

Uma repartição precisa escolher entre dois fornecedores para um serviço sujeito a atrasos. Com o fornecedor A, o atraso é de 0, 1 ou 3 dias, com probabilidades 0,5, 0,3 e 0,2. Com o fornecedor B, é de 0, 1 ou 2 dias, com probabilidades 0,4, 0,4 e 0,2. Qual tem o menor atraso esperado?

E(A) = 0 × 0,5 + 1 × 0,3 + 3 × 0,2 = 0,3 + 0,6 = 0,9 dia.
E(B) = 0 × 0,4 + 1 × 0,4 + 2 × 0,2 = 0,4 + 0,4 = 0,8 dia.
O fornecedor B tem o menor atraso esperado.

Mas a esperança não é tudo: A tem a cauda mais longa (3 dias). Calcule também a variância para comparar o risco. E(A²) = 0,3 + 9 × 0,2 = 2,1; Var(A) = 2,1 − 0,81 = 1,29. E(B²) = 0,4 + 4 × 0,2 = 1,2; Var(B) = 1,2 − 0,64 = 0,56. B é menor em média e em dispersão.

Perceba a lição: duas opções podem ter esperanças próximas e riscos muito diferentes. A esperança resume o centro; a variância resume a incerteza.

Esperança de distribuições conhecidas

Distribuição	Esperança
Binomial com n tentativas e probabilidade p	n·p
Poisson com taxa λ	λ
Uniforme discreta em 1..n	(n + 1)/2
Dado honesto	3,5

Veja os detalhes em distribuição binomial e distribuição de Poisson.

Erros comuns

Esquecer os valores negativos (perdas) ao calcular o ganho esperado.
Dividir por n em vez de ponderar por probabilidade. A esperança não é a média simples dos valores, a menos que todos tenham a mesma probabilidade.
Aplicar E(X²) = [E(X)]². Isso é falso: a diferença entre os dois é exatamente a variância.
Interpretar a esperança como o que “vai acontecer” numa única partida. Ela é um resultado de longo prazo.
Não conferir que as probabilidades somam 1, erro que passa despercebido em provas que omitem uma probabilidade e pedem para achá-la.

Roteiro de resolução

Liste os valores possíveis da variável e suas probabilidades, em tabela.
Confira que a soma é 1; se faltar uma, ache-a pelo complementar.
Multiplique cada valor por sua probabilidade e some.
Se pedirem dispersão, calcule E(X²) e subtraia o quadrado da esperança.
Interprete a resposta no contexto (ganho, custo, atraso).

Próximos passos

Aprofunde com probabilidade básica, probabilidade condicional e Bayes e estatística descritiva.

Fontes e atualização

Assunto de estatística, sem norma aplicável; valores verificados por cálculo independente. Confira no edital o programa de estatística e probabilidade e use a notação adotada pela banca. Veja a metodologia do site.