Fração do restante e método reverso: problemas resolvidos

“Maria gastou um terço do salário no aluguel, um quarto do que sobrou no mercado e ainda ficou com uma quantia fixa.” Esse enunciado, com frações sucessivas do restante, é um dos clássicos da matemática de concurso. O erro típico é somar um terço com um quarto como se ambos fossem frações do salário inteiro. Este guia ensina duas técnicas, o fator multiplicativo e o método reverso, e mostra como evitar a armadilha. Todas as contas foram conferidas por código.

A ideia: cada fração incide sobre o que sobrou

Se você gasta a fração f do que tem, sobra 1 − f. Dois gastos sucessivos se encadeiam:

sobra final = total × (1 − f₁) × (1 − f₂) × …

Esse é o fator multiplicativo. Ele resolve o problema em uma linha.

Exemplo 1

Maria gastou 1/3 do salário no aluguel, depois 1/4 do que restou no mercado, e sobraram 300 u.m. Qual o salário?

Após o aluguel: sobram 1 − 1/3 = 2/3 do salário.
Após o mercado: sobram 3/4 desse restante, ou seja, 2/3 × 3/4 = 1/2 do salário.
Então 1/2 do salário = 300, logo o salário é 600 u.m.

Conferência passo a passo: aluguel 200, restam 400; mercado 100 (1/4 de 400), restam 300. Bate.

Se alguém somasse 1/3 + 1/4 = 7/12 como gasto total, acharia sobra de 5/12 e um salário de 720, resultado errado. A diferença está em que o 1/4 incide sobre 2/3, não sobre o total (1/4 de 2/3 é 1/6, não 1/4).

O método reverso

Quando o enunciado dá o resultado final e descreve uma sequência de operações, desfaça cada operação de trás para frente, invertendo-a:

Operação feita	Operação inversa
Somou 10	Subtrai 10
Subtraiu 10	Soma 10
Multiplicou por 3	Divide por 3
Tirou metade	Multiplica por 2
Gastou 1/3 do que tinha (ficou com 2/3)	Divide por 2/3 (ou multiplica por 3/2)

Exemplo 2

Um número foi dividido por 2 e depois somou-se 10 ao resultado, obtendo 30. Qual é o número?

Desfaz a soma: 30 − 10 = 20.
Desfaz a divisão por 2: 20 × 2 = 40.
Conferência: 40 ÷ 2 + 10 = 30.

Exemplo 3: o reservatório

Pela manhã, usaram-se 2/5 da água de um reservatório. À tarde, usou-se 1/3 do que restava. Sobraram 120 litros. Qual a capacidade?

Após a manhã: restam 3/5.
À tarde, usa-se 1/3 de 3/5, que é 1/5 do total; restam 3/5 − 1/5 = 2/5.
2/5 da capacidade = 120, logo a capacidade é 120 × 5 ÷ 2 = 300 L.

Conferência: manhã 120 L, restam 180; tarde 60 L, restam 120. Correto.

Exemplo 4: metade e depois um terço

Alguém gastou metade do dinheiro, depois um terço do que sobrou, e ficou com 20 u.m. Quanto tinha no começo?

Metade do total sobra: 1/2.
Após gastar 1/3 do restante, sobram 2/3 de 1/2 = 1/3 do total.
1/3 do total = 20, logo o total era 60 u.m.
Conferência: gastou 30, ficou com 30; gastou 10 (1/3 de 30), ficou com 20.

Frações do total x frações do restante: como o enunciado avisa

Expressão no enunciado	Incide sobre
“1/4 do salário”	O total
“1/4 do que restou”, “do restante”, “do que sobrou”	O restante da etapa anterior
“1/4 do que ainda faltava”	O que falta da etapa anterior
“mais 2 u.m.”	Valor absoluto, não fração

Leia a preposição com cuidado: “do salário” e “do restante” mudam a base.

Quando há um valor fixo no meio

“Gastou metade do que tinha e mais 10 u.m., ficando com 30” significa que, depois de tirar a metade, ainda saiu um valor fixo. Pelo método reverso: 30 + 10 = 40, e 40 × 2 = 80 (conferência: metade de 80 é 40, mais 10 dá 50 gastos, e restam 30).

Passo a passo

Identifique se cada fração incide sobre o total ou sobre o restante.
Calcule a fração que sobra em cada etapa (1 menos a fração gasta).
Multiplique as sobras para obter a fração final do total.
Iguale ao valor conhecido e resolva.
Se for mais simples, inverta as operações a partir do resultado.
Confira refazendo a história com o valor encontrado.

Erros comuns

Somar frações que incidem sobre bases diferentes.
Confundir “gastou 1/4” com “sobrou 1/4”.
Aplicar a operação inversa na ordem original, em vez de de trás para frente.
Esquecer o valor fixo (“mais 10”) na reconstrução.
Não verificar o resultado voltando ao enunciado.
Trabalhar com decimais aproximados em vez de frações (1/3 não é 0,33).

Próximos passos

Revise as operações em conjuntos numéricos, frações, potências e raízes.
Treine a álgebra em equações e inequações do 1º e 2º grau.
Veja percentuais em porcentagem: aumentos, descontos e variações sucessivas.

Fontes e atualização

Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todos os exemplos foram conferidos executando código com frações exatas. O edital define o programa de matemática da prova; confira-o.