Conjuntos numéricos, frações, potências e raízes: operações

A base de quase toda questão de matemática de concurso são quatro coisas: saber a que conjunto numérico um número pertence, operar frações sem errar o sinal, aplicar as propriedades de potências e simplificar raízes. Este guia reúne o essencial, com todas as contas refeitas, e não repete MMC e MDC, que estão em outro guia.

Os conjuntos numéricos

Naturais (N): 0, 1, 2, 3, … (em muitas provas o zero pertence a N; o enunciado costuma deixar claro).
Inteiros (Z): os naturais e seus opostos: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
Racionais (Q): todo número que pode ser escrito como a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Incluem inteiros, decimais exatos (0,75 = 3/4) e dízimas periódicas (0,333… = 1/3).
Irracionais (I): decimais infinitos e não periódicos, que não podem ser escritos como fração. Exemplos: raiz quadrada de 2, raiz quadrada de 3 e o número pi.
Reais (R): a união de racionais e irracionais.

A relação é N dentro de Z, Z dentro de Q, Q dentro de R, e I também dentro de R, sem interseção com Q. Todo inteiro é racional (5 = 5/1), mas nem todo racional é inteiro.

Pegadinhas clássicas. A raiz quadrada de 16 é 4, portanto racional (e inteira). A raiz quadrada de 2 é irracional. A soma de dois irracionais pode ser racional: raiz de 2 mais (−raiz de 2) vale 0. O produto de dois irracionais também: raiz de 2 vezes raiz de 2 vale 2. Logo, “a soma de irracionais é irracional” é afirmação falsa. Já a soma de um racional com um irracional é sempre irracional.

Dízima periódica e fração geratriz

Para transformar uma dízima em fração, use o método do múltiplo de 10.

Simples. x = 0,333…; então 10x = 3,333…; subtraindo, 9x = 3 e x = 1/3.

Composta. x = 0,4777… (o 4 não repete, o 7 repete).

10x = 4,777…
100x = 47,777…
Subtraindo a segunda da primeira: 90x = 43.
x = 43/90. Conferência: 43 dividido por 90 dá 0,4777…

Atalho conhecido: o numerador é o número formado por parte não periódica e período, menos a parte não periódica (47 − 4 = 43); o denominador tem um 9 para cada algarismo do período e um 0 para cada algarismo não periódico (um 9 e um 0, ou seja, 90).

Frações: as quatro operações

Soma e subtração: reduza ao mesmo denominador. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Multiplicação: numerador com numerador, denominador com denominador, simplificando antes. 3/4 · 8/9 = 24/36 = 2/3.
Divisão: multiplique pelo inverso da segunda. (5/6) ÷ (2/3) = 5/6 · 3/2 = 15/12 = 5/4.
Comparação: multiplique em cruz. Entre 3/7 e 5/12, compare 3 · 12 = 36 com 5 · 7 = 35. Como 36 é maior, 3/7 é maior que 5/12.

Exemplo combinado. Calcule (1/2 + 1/3) ÷ (5/6). Dentro do parêntese, 5/6. Então 5/6 ÷ 5/6 = 1.

Fração de fração. “Gastei 2/5 do salário e, do que sobrou, 1/3 em transporte.” Sobrou 3/5; um terço de 3/5 é 1/5; o total gasto foi 2/5 + 1/5 = 3/5 do salário, e sobraram 2/5.

Potenciação: propriedades

Com base não nula:

Propriedade	Exemplo conferido
a^m · a^n = a^(m+n)	2^3 · 2^4 = 2^7 = 128 (8 · 16)
a^m ÷ a^n = a^(m−n)	3^5 ÷ 3^2 = 3^3 = 27 (243 ÷ 9)
(a^m)^n = a^(m·n)	(2^3)^2 = 2^6 = 64 (8 · 8)
(a·b)^n = a^n · b^n	(2·5)^2 = 4 · 25 = 100
a^0 = 1	7^0 = 1
a^(−n) = 1 ÷ a^n	2^(−3) = 1/8

Sinais. Expoente par com base negativa dá resultado positivo: (−2)^4 = 16. Mas −2^4 = −16, porque a potência vem antes do sinal de menos. Esta é a pegadinha mais frequente.

Expoente fracionário. a^(m/n) é a raiz n-ésima de a elevada a m. Então 8^(2/3): raiz cúbica de 8 é 2, e 2^2 = 4.

Expoente negativo com fração. (1/2)^(−1) = 2. Assim, (2^(−1) + 3^(−1))^(−1) = (1/2 + 1/3)^(−1) = (5/6)^(−1) = 6/5.

Radiciação: simplificar e racionalizar

Para simplificar, fatore o radicando e extraia o que tem expoente igual ao índice.

Raiz de 72 = raiz de (36 · 2) = 6 · raiz de 2. Conferência numérica: 6 · 1,414 é cerca de 8,485, que é a raiz de 72.
Raiz de 18 + raiz de 8 − raiz de 50 = 3 raiz de 2 + 2 raiz de 2 − 5 raiz de 2 = 0. Só se somam radicais semelhantes, isto é, com o mesmo radicando.

Racionalização. Para eliminar a raiz do denominador, multiplique em cima e embaixo por ela: 1/raiz de 3 = (raiz de 3)/3. O valor é o mesmo, cerca de 0,577.

Cuidado: raiz de (a + b) não é raiz de a mais raiz de b. Por exemplo, raiz de (9 + 16) = 5, mas 3 + 4 = 7.

Ordem das operações

Parênteses, colchetes e chaves, de dentro para fora.
Potências e raízes.
Multiplicações e divisões, da esquerda para a direita.
Somas e subtrações, da esquerda para a direita.

Exemplo: 2 + 3 · 4^2 = 2 + 3 · 16 = 2 + 48 = 50. Quem soma 2 + 3 primeiro chega a 80, resultado errado.

Erros comuns

Somar frações somando numeradores e denominadores (1/2 + 1/3 não é 2/5).
Esquecer de inverter a segunda fração na divisão.
Tratar −2^4 como (−2)^4.
Afirmar que toda dízima é irracional: as periódicas são racionais.
Cancelar termos de soma como se fossem fatores: (a + 3)/3 não é a.

Fontes e atualização

Conteúdo de matemática básica, sem norma oficial correspondente; o guia é orientação prática. Todas as contas e conferências numéricas foram refeitas pela redação. Use o conteúdo programático do edital para saber a profundidade cobrada.

Próximos passos

Aplique frações em razão e proporção.
Continue com equações e inequações.
Treine variações em porcentagem, aumentos e descontos.