Seu navegador não oferece leitura em voz alta. Você pode ler o guia normalmente.
MMC e MDC aparecem em dois tipos de problema que parecem diferentes, mas têm um critério simples de escolha. Quando algo se repete e você quer saber quando coincidirá de novo, é MMC (menor múltiplo comum). Quando algo precisa ser dividido em partes iguais, as maiores possíveis, é MDC (maior divisor comum). Dominar a fatoração e o critério de escolha resolve quase todas as questões.
Base: divisores, múltiplos e números primos
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, … (6 vezes 1, 2, 3, 4…).
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Número primo tem exatamente dois divisores, 1 e ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 13… O 1 não é primo.
- Fatorar é escrever o número como produto de primos: 36 = 2² · 3²; 48 = 2⁴ · 3; 144 = 2⁴ · 3².
Critérios de divisibilidade
| Divisível por | Critério | Exemplo |
|---|---|---|
| 2 | termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 | 134 |
| 3 | soma dos algarismos divisível por 3 | 231 (2+3+1 = 6) |
| 4 | dois últimos algarismos formam número divisível por 4 | 316 (16) |
| 5 | termina em 0 ou 5 | 225 |
| 6 | divisível por 2 e por 3 | 114 |
| 8 | três últimos algarismos formam número divisível por 8 | 3.128 (128) |
| 9 | soma dos algarismos divisível por 9 | 729 (7+2+9 = 18) |
| 10 | termina em 0 | 340 |
MDC: o maior divisor comum
É o maior número que divide todos os números dados.
Por fatoração: pegue os primos comuns com o menor expoente.
Exemplo. MDC(36, 48): 36 = 2² · 3² e 48 = 2⁴ · 3. Primos comuns: 2 (menor expoente 2) e 3 (menor expoente 1). MDC = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.
Pelo algoritmo de Euclides (divisões sucessivas, o último resto não nulo é o MDC): 48 = 1 · 36 + 12; 36 = 3 · 12 + 0. MDC = 12.
MMC: o menor múltiplo comum
É o menor número (diferente de zero) que é múltiplo de todos os números dados.
Por fatoração: pegue todos os primos (comuns e não comuns) com o maior expoente.
Exemplo. MMC(36, 48) = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.
Com três números. MMC(12, 18, 30): 12 = 2² · 3; 18 = 2 · 3²; 30 = 2 · 3 · 5. Maiores expoentes: 2², 3², 5. MMC = 4 · 9 · 5 = 180. O MDC dos três é 2 · 3 = 6.
Relação entre MMC e MDC
Para dois números a e b vale: MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b.
Conferência com 36 e 48: 144 · 12 = 1.728 e 36 · 48 = 1.728 ✓.
Atenção: essa relação não vale para três ou mais números. Com 12, 18 e 30: 180 · 6 = 1.080, mas 12 · 18 · 30 = 6.480.
Números primos entre si
Se o MDC de dois números é 1, eles são primos entre si (por exemplo, 35 e 48). Nesse caso, o MMC é o produto: 35 · 48 = 1.680.
Quando usar MMC: eventos que se repetem
Problema 1. Dois ônibus saem juntos de um terminal. Um passa a cada 12 minutos e o outro, a cada 18 minutos. Depois de quanto tempo saem juntos de novo?
MMC(12, 18) = 36. Saem juntos de novo após 36 minutos.
Problema 2. Três luzes piscam, respectivamente, a cada 15, 20 e 24 segundos, e acabaram de piscar juntas. Quantos segundos depois piscam juntas de novo, e quantas vezes cada uma piscou nesse intervalo?
15 = 3 · 5; 20 = 2² · 5; 24 = 2³ · 3. MMC = 2³ · 3 · 5 = 120 segundos (2 minutos). Piscadas até lá: 120 ÷ 15 = 8, 120 ÷ 20 = 6 e 120 ÷ 24 = 5 (contando a que coincide no 120º segundo).
Quando usar MDC: partes iguais, as maiores possíveis
Problema 3. Um grupo tem 84 homens e 126 mulheres. Querem formar o maior número possível de equipes iguais, cada uma com a mesma quantidade de homens e de mulheres, sem sobrar ninguém. Quantas equipes? Qual a composição?
MDC(84, 126): 126 = 1 · 84 + 42; 84 = 2 · 42 + 0. MDC = 42 equipes. Cada equipe tem 84 ÷ 42 = 2 homens e 126 ÷ 42 = 3 mulheres.
Problema 4. Uma sala retangular mede 560 cm por 420 cm e será coberta com pisos quadrados inteiros, do maior tamanho possível, sem cortes. Qual o lado do piso e quantas peças?
MDC(560, 420): 560 = 1 · 420 + 140; 420 = 3 · 140 + 0. Lado = 140 cm. Peças: (560 ÷ 140) · (420 ÷ 140) = 4 · 3 = 12.
Problemas de resto
Problema 5. Qual o menor número que, dividido por 4, por 6 e por 8, deixa sempre resto 3?
O número menos 3 é múltiplo comum de 4, 6 e 8. MMC(4, 6, 8) = 24. O menor é 24 + 3 = 27. Conferência: 27 ÷ 4 = 6 resto 3; 27 ÷ 6 = 4 resto 3; 27 ÷ 8 = 3 resto 3 ✓.
Problema 6. Qual o maior número que divide 100 e 76 deixando resto 4 em ambos?
Retire o resto: 100 − 4 = 96 e 76 − 4 = 72. O número divide 96 e 72, e deve ser maior que 4 (o resto é sempre menor que o divisor). MDC(96, 72) = 24. Conferência: 100 = 4 · 24 + 4 e 76 = 3 · 24 + 4 ✓.
Esse padrão (subtrair o resto) é muito cobrado: para MMC, some o resto ao final; para MDC, subtraia-o antes de calcular.
Número de divisores
Fatore, some 1 a cada expoente e multiplique. Para 144 = 2⁴ · 3²: (4 + 1) · (2 + 1) = 5 · 3 = 15 divisores.
Frações
O MMC dos denominadores serve de denominador comum: 1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36, pois MMC(12, 18) = 36.
Como decidir entre MMC e MDC
| O enunciado pede | Use |
|---|---|
| “quando coincidem de novo”, “de quanto em quanto tempo”, “menor quantidade que seja múltiplo” | MMC |
| “maior tamanho”, “maior número de grupos”, “dividir sem sobras em partes iguais” | MDC |
| “menor número que dividido por… deixa resto” | MMC, depois some o resto |
| “maior número que divide… deixando resto” | MDC dos valores já subtraídos do resto |
Erros comuns
- Pegar os maiores expoentes no MDC (é o contrário: menores e só os primos comuns).
- Esquecer um primo não comum no MMC.
- Usar a relação MMC · MDC = a · b com mais de dois números.
- Trocar MMC por MDC porque o enunciado fala em “dividir”.
- Não subtrair o resto antes de calcular o MDC.
- Contar o 1 como primo.
Como conferir
Todas as contas deste guia foram refeitas e verificadas, inclusive com a prova real das divisões. Ao resolver por conta própria, teste o resultado: no MMC, ele deve ser divisível por todos os números; no MDC, deve dividir todos e não existir um divisor comum maior. O edital define a matemática exigida.
Próximos passos
Siga com razão e proporção, treine regra de três simples e composta e revise sequências lógicas.