Média, mediana, moda e desvio padrão: estatística básica

Estatística descritiva resume um conjunto de dados em poucos números. Na prova de concurso, os pedidos mais comuns são: média (valor de equilíbrio), mediana (valor central) e moda (valor mais frequente), além de amplitude e desvio padrão (o quanto os dados se espalham). Dominar as contas e saber quando cada medida representa melhor os dados resolve a maioria das questões.

Média aritmética

É a soma dos valores dividida pelo número deles.

Exemplo. Dados: 3, 5, 5, 7, 9, 10, 17.

Soma = 3 + 5 + 5 + 7 + 9 + 10 + 17 = 56. Como são 7 valores, média = 56 ÷ 7 = 8.

Média ponderada

Quando os valores têm pesos diferentes, multiplica-se cada um pelo seu peso, soma-se e divide-se pela soma dos pesos.

Exemplo. Notas 6 (peso 2), 8 (peso 3) e 9 (peso 5).

(6·2 + 8·3 + 9·5) ÷ (2 + 3 + 5) = (12 + 24 + 45) ÷ 10 = 81 ÷ 10 = 8,1.

Problema típico: descobrir um valor que falta

A média de 5 números é 12. Que sexto número deve ser incluído para a média passar a 13?

Soma dos 5 = 5 · 12 = 60. Soma desejada dos 6 = 6 · 13 = 78. O sexto número é 78 − 60 = 18.

Pegadinha: média das médias

O grupo A tem 10 pessoas com média 6. O grupo B tem 30 pessoas com média 8. A média geral não é (6 + 8) ÷ 2 = 7. O correto é ponderar pelo tamanho: (10·6 + 30·8) ÷ 40 = (60 + 240) ÷ 40 = 7,5.

Mediana

É o valor central dos dados ordenados.

Quantidade ímpar: a mediana é o termo do meio.
Quantidade par: é a média dos dois termos centrais.

Exemplo ímpar. Dados 3, 5, 5, 7, 9, 10, 17 (já ordenados, n = 7). O termo central é o 4º: 7.

Exemplo par. Dados 2, 4, 4, 6, 8, 12 (n = 6). Os termos centrais são o 3º e o 4º, 4 e 6. Mediana = (4 + 6) ÷ 2 = 5.

Atenção: ordene antes. Calcular a mediana na ordem em que os dados aparecem é o erro mais comum.

Por que a mediana importa

Ela é pouco afetada por valores extremos. Veja o conjunto 10, 12, 12, 14, 100:

média = 148 ÷ 5 = 29,6;
mediana = 12.

O valor 100 puxa a média para cima, e a mediana continua representando bem o grupo típico. Em dados com valores discrepantes, a mediana costuma ser a melhor medida de posição.

Moda

É o valor que aparece com maior frequência.

Em 3, 5, 5, 7, 9, 10, 17, a moda é 5.
Em 2, 4, 4, 6, 8, 12, a moda é 4.
Em 1, 1, 2, 3, 3, há duas modas (1 e 3): o conjunto é bimodal.
Se nenhum valor se repete, o conjunto é amodal (não tem moda).

A moda também serve para dados que não são numéricos (cor, cargo, categoria), onde média e mediana não existem.

Resumo do mesmo conjunto

Para 3, 5, 5, 7, 9, 10, 17: média 8, mediana 7, moda 5. Como a média é maior que a mediana, há valores altos puxando-a para cima (assimetria à direita). Em um conjunto simétrico, as três medidas ficam próximas.

Tabela de frequências

Quando os dados vêm em tabela, use a frequência como peso.

Valor	Frequência	Valor × frequência	Frequência acumulada
1	2	2	2
2	5	10	7
3	8	24	15
4	5	20	20
Total	20	56

Média: 56 ÷ 20 = 2,8.
Moda: o valor de maior frequência, 3 (frequência 8).
Mediana: com 20 dados, os centrais são o 10º e o 11º. Pela frequência acumulada, do 8º ao 15º dado o valor é 3, logo os dois centrais valem 3 e a mediana é 3.

Medidas de dispersão

Amplitude

Maior valor menos menor valor. Em 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: amplitude = 9 − 2 = 7. É simples, mas depende só dos extremos.

Variância e desvio padrão

Medem o afastamento dos dados em relação à média.

Passo a passo para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8):

Média: 40 ÷ 8 = 5.
Desvios (valor − média): −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4.
Quadrados dos desvios: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16. Soma = 32.
Variância populacional = 32 ÷ 8 = 4.
Desvio padrão = raiz quadrada da variância = 2.

Se os dados forem tratados como amostra, divide-se por n − 1: variância amostral = 32 ÷ 7, cerca de 4,57. A questão informa se os dados são a população inteira ou uma amostra; leia o enunciado.

O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados, e a variância tem a unidade ao quadrado. Quanto maior o desvio padrão, mais espalhados os dados.

Efeito de operações sobre os dados

Cheque este quadro antes de calcular qualquer coisa: muitas questões se resolvem sem conta.

Operação sobre todos os valores	Média, mediana e moda	Desvio padrão	Variância
Somar uma constante k	somam k	não muda	não muda
Multiplicar por k	multiplicam por k	multiplica por k (módulo)	multiplica por k²

Exemplo: se somarmos 5 a todos os valores de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, a média passa de 5 para 10 e o desvio padrão continua 2. Se multiplicarmos todos por 2, o desvio padrão vira 4 e a variância vira 16.

Qual medida usar?

Situação	Melhor medida
Dados sem valores discrepantes	média
Dados com valores extremos	mediana
Dados de categorias	moda
Comparar dispersão	desvio padrão

Erros comuns

Calcular a mediana sem ordenar.
Em número par de dados, tomar só um dos termos centrais.
Tirar a média das médias sem ponderar.
Esquecer a frequência na tabela e somar apenas os valores distintos.
Dizer que “não há moda” quando há empate (nesse caso há duas ou mais modas).
Confundir variância com desvio padrão e esquecer a raiz quadrada.
Dividir por n quando o enunciado manda tratar como amostra, ou o contrário.

Como conferir

Todas as contas deste guia foram refeitas e conferidas. Para se exercitar, monte conjuntos pequenos, calcule à mão e confira numa planilha com as funções de média, mediana e moda (veja planilhas eletrônicas: funções clássicas). A forma de apresentar variância e desvio (populacional ou amostral) segue o enunciado, e o edital define o conteúdo cobrado.

Próximos passos

Aplique o raciocínio de pesos em porcentagem e variações sucessivas, combine com razão e proporção e revise a probabilidade básica.