Juros simples e compostos: problemas resolvidos passo a passo

Juros são o “aluguel” do dinheiro. Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial e o rendimento cresce em linha reta. Nos juros compostos, a taxa incide sobre o montante do período anterior (“juros sobre juros”) e o crescimento é exponencial. A prova quase sempre cobra três habilidades: escolher a fórmula certa, acertar a unidade de tempo e converter taxas.

Vocabulário e fórmulas

Símbolo	Significado
C	capital (valor inicial)
i	taxa de juros por período (em decimal: 2% = 0,02)
t	número de períodos
J	juros
M	montante (capital + juros)

Juros simples: J = C · i · t e M = C · (1 + i · t)

Juros compostos: M = C · (1 + i)^t e J = M − C

Regra de ouro: a taxa e o tempo precisam estar na mesma unidade. Taxa ao mês combina com tempo em meses; se o tempo vier em anos, converta.

Juros simples: problemas resolvidos

Problema 1. Um capital de 5.000 é aplicado a juros simples de 2% ao mês durante 8 meses. Calcule juros e montante.

J = 5.000 · 0,02 · 8 = 800. M = 5.000 + 800 = 5.800.

Conferência: 2% de 5.000 são 100 por mês; em 8 meses, 800.

Problema 2. A juros simples de 3% ao mês, em quantos meses os juros equivalem a 45% do capital?

J = C · 0,03 · t = 0,45 · C. Cortando C: 0,03 · t = 0,45, logo t = 0,45 ÷ 0,03 = 15 meses.

Problema 3. Um capital de 8.000 rende juros simples de 1,5% ao mês por 10 meses. Qual o montante?

J = 8.000 · 0,015 · 10 = 1.200. M = 9.200. Pela fórmula direta: 8.000 · (1 + 0,015 · 10) = 8.000 · 1,15 = 9.200.

Problema 4. Em quanto tempo um capital dobra a juros simples de 5% ao mês?

Dobrar significa M = 2C, então J = C. Assim C · 0,05 · t = C, e t = 1 ÷ 0,05 = 20 meses.

Juros compostos: problemas resolvidos

Problema 5. Um capital de 5.000 é aplicado a juros compostos de 2% ao mês por 3 meses.

M = 5.000 · (1,02)³. Calculando: 1,02 · 1,02 = 1,0404; 1,0404 · 1,02 = 1,061208. Então M = 5.000 · 1,061208 = 5.306,04. Os juros são 306,04.

Comparação: a juros simples, o rendimento seria 300. A diferença de 6,04 vem dos juros sobre juros.

Problema 6. Qual o montante de 10.000 a 10% ao ano, em 2 anos, a juros compostos?

M = 10.000 · (1,1)² = 10.000 · 1,21 = 12.100. Juros de 2.100, contra 2.000 em regime simples.

Problema 7. Qual o montante de 1.000 a 10% ao ano, em 3 anos, no regime composto?

1,1 · 1,1 = 1,21 e 1,21 · 1,1 = 1,331. M = 1.331.

Problema 8. Em juros compostos de 10% ao período, quando o capital dobra?

Precisamos de (1,1)^t ≥ 2. Calculando: 1,1⁷ ≈ 1,9487 (ainda menor que 2) e 1,1⁸ ≈ 2,1436 (já maior). Logo o montante ultrapassa o dobro no 8º período. Em juros simples de 10%, dobraria em exatamente 10 períodos: o composto é mais rápido.

Taxas proporcionais e equivalentes

Aqui está a maior fonte de erro.

Taxas proporcionais (juros simples): dividir ou multiplicar a taxa pelo número de períodos. 24% ao ano é proporcional a 2% ao mês (24 ÷ 12).
Taxas equivalentes (juros compostos): produzem o mesmo montante no mesmo prazo. Converte-se com potência, não com divisão.

Problema 9. A taxa de 10% ao mês, em juros compostos, equivale a quanto em 2 meses?

(1,10)² = 1,21, ou seja, 21% em dois meses (e não 20%).

Problema 10. A taxa de 1% ao mês em juros compostos equivale a quanto ao ano?

(1,01)¹² ≈ 1,126825. Então a taxa anual equivalente é de aproximadamente 12,68% ao ano (e não 12%). A diferença dos 12% vem dos juros sobre juros.

Fórmula geral de equivalência: (1 + i_anual) = (1 + i_mensal)¹².

Taxa nominal e taxa efetiva

“12% ao ano capitalizados mensalmente” é taxa nominal: a taxa por período de capitalização é a proporcional, 12 ÷ 12 = 1% ao mês. Mas a taxa efetiva anual é a equivalente a 1% ao mês, ou seja, cerca de 12,68%. Quando a questão diz “taxa nominal… capitalizada…”, use a proporcional para achar a taxa do período e, se pedirem a efetiva, componha.

Simples ou composto?

O enunciado diz “juros simples” ou “regime de capitalização simples”: use a linear.
Diz “juros compostos”, “capitalização composta” ou “juros sobre juros”: use a exponencial.
Se nada for dito, em operações financeiras de mercado o padrão é composto, mas a prova precisa informar; não presuma.

Em prazos menores que um período (por exemplo, meio mês numa taxa mensal), o regime simples rende mais que o composto exponencial: com taxa de 10% ao período e t = 0,5, o fator simples é 1,05 e o composto é 1,1^0,5, cerca de 1,0488. Por isso, questões com tempo fracionário costumam indicar a convenção a usar.

Passo a passo para qualquer problema

Identifique o que é dado (C, i, t, J ou M) e o que se pede.
Converta taxa e tempo para a mesma unidade.
Escolha o regime pelo enunciado.
Monte a equação; se a incógnita for a taxa ou o tempo no regime composto, a prova costuma fornecer valores de potências ou logaritmos.
Confira: o montante é sempre maior que o capital; o composto de t ≥ 1 período é sempre maior ou igual ao simples.

Erros comuns

Usar 2 em vez de 0,02 na fórmula.
Misturar taxa mensal com tempo em anos.
Dividir a taxa por 12 para achar a equivalente no regime composto.
Calcular (1 + i · t) no regime composto, ou (1 + i)^t no simples.
Responder o montante quando a pergunta pede os juros.
Arredondar potências no meio da conta e perder a alternativa correta.

Fontes e atualização

O conceito de juros compostos com capitalização mensal em financiamentos com prestações fixas foi conferido na ajuda da Calculadora do Cidadão do Banco Central, ferramenta de simulação pública. Todas as contas deste guia foram refeitas e conferidas. Conferido nas fontes acima na data de publicação deste guia. As fórmulas são conteúdo matemático consagrado; o edital define o conteúdo e o que será permitido usar em prova.

Próximos passos

Combine com porcentagem, aumentos, descontos e variações sucessivas, pratique razão e proporção e use o caderno de erros para registrar os deslizes de conversão de taxa.