Porcentagem: aumentos, descontos e variações sucessivas

Porcentagem é uma fração com denominador 100: dizer 15% é o mesmo que 15/100 ou 0,15. Nas provas, o jeito mais seguro de resolver aumentos, descontos e variações em sequência é o fator multiplicativo, que transforma cada situação em uma multiplicação simples.

Porcentagem de um valor

Para calcular uma porcentagem de um número, converta a taxa em decimal e multiplique.

15% de 240 = 0,15 × 240 = 36.
8% de 50 = 0,08 × 50 = 4.
120% de 30 = 1,2 × 30 = 36 (pode passar de 100%).

Atalhos úteis: 10% é dividir por 10; 50% é a metade; 25% é a quarta parte; 1% é dividir por 100. Com eles, 35% de 200 sai de cabeça: 30% (60) mais 5% (10) igual a 70.

O fator multiplicativo

O fator é o número pelo qual se multiplica o valor inicial para obter o final.

Aumento de i%: fator = 1 + i/100.
Desconto de i%: fator = 1 − i/100.

Situação	Fator
Aumento de 20%	1,20
Aumento de 5%	1,05
Desconto de 15%	0,85
Desconto de 40%	0,60
Aumento de 100%	2,00

Exemplo. Um produto de 200 reais sofre aumento de 20%. Novo preço = 200 × 1,2 = 240 reais. Depois, esse produto recebe desconto de 15%: 240 × 0,85 = 204 reais.

Variações sucessivas

Em variações em sequência, os fatores se multiplicam. Nunca some as taxas.

Exemplo 1. Dois aumentos seguidos, de 20% e de 30%.

Fator total = 1,2 × 1,3 = 1,56.
Aumento acumulado = 56%, e não 50%.

Exemplo 2. Aumento de 10% seguido de desconto de 10%.

Fator total = 1,1 × 0,9 = 0,99.
O valor final é 99% do inicial, uma queda de 1%.

Por isso “subir 10% e descer 10%” não volta ao ponto de partida: o desconto incide sobre um valor maior.

Exemplo 3. Um desconto de 20% seguido de outro de 20%.

Fator = 0,8 × 0,8 = 0,64.
Desconto acumulado = 36%, e não 40%.

Achando o valor original

Se você conhece o valor final e o fator, divida.

Exemplo. Após um aumento de 25%, o preço passou a 150 reais. Qual era o preço original?

Fator = 1,25.
Original = 150 ÷ 1,25 = 120 reais.

Conferência: 120 × 1,25 = 150. Correto.

Exemplo com desconto. Uma mercadoria foi vendida por 72 reais após desconto de 40%. O preço antes do desconto era 72 ÷ 0,6 = 120 reais.

Erro típico: calcular 40% de 72 e somar. Isso aplica a taxa sobre o valor errado, pois o desconto de 40% incidiu sobre o preço original, não sobre o final.

Variação percentual entre dois valores

Variação = (valor final − valor inicial) ÷ valor inicial.

De 80 para 100: (100 − 80) ÷ 80 = 0,25, aumento de 25%.
De 100 para 80: (80 − 100) ÷ 100 = −0,20, queda de 20%.

A base sempre é o valor inicial, e por isso subir 25% e descer 20% são movimentos que se compensam: 1,25 × 0,8 = 1.

Pontos percentuais x porcentagem

Se uma taxa passa de 20% para 25%, houve aumento de 5 pontos percentuais (25 − 20). Já o aumento relativo é de 5 ÷ 20 = 0,25, ou seja, 25%. Provas exploram essa distinção. Quando o texto falar em “pontos percentuais”, subtraia as taxas; quando falar em “aumento de x%”, calcule a variação relativa.

Problemas de composição

Exemplo. Numa sala de 40 pessoas, 55% são mulheres. Quantos homens há?

Homens = 100% − 55% = 45%.
45% de 40 = 0,45 × 40 = 18 homens.
Conferência: mulheres = 22 e 22 + 18 = 40.

Exemplo com mudança de composição. Em um grupo de 50 pessoas, 20 são fumantes (40%). Saem 10 não fumantes. Qual é a nova porcentagem de fumantes?

Total passa a ser 40.
20 ÷ 40 = 0,5, ou 50%.

A quantidade de fumantes não mudou, mas a base diminuiu e a proporção cresceu.

Lucro e prejuízo

Lucro sobre o custo: venda = custo × (1 + taxa). Se uma peça custa 80 reais e é vendida com lucro de 25% sobre o custo, o preço de venda é 80 × 1,25 = 100 reais.

Lucro sobre a venda é diferente: se o lucro é 20% do preço de venda, então o custo é 80% da venda. Com custo de 80 reais, a venda é 80 ÷ 0,8 = 100 reais. Os dois exemplos chegam a 100 por caminhos distintos; leia sempre sobre qual base a taxa incide.

Erros comuns

Somar taxas sucessivas (20% + 30% = 50%) em vez de multiplicar fatores.
Calcular o valor original multiplicando em vez de dividir.
Aplicar o desconto sobre o preço final em vez de sobre o inicial.
Confundir ponto percentual com variação relativa.
Esquecer de identificar qual é a base de cálculo no enunciado.

Roteiro rápido

Identifique a base (o valor sobre o qual a taxa incide).
Converta cada taxa em fator.
Multiplique os fatores, se forem várias etapas.
Se o valor desconhecido é o inicial, divida o final pelo fator.
Confira refazendo a conta no sentido contrário.

Próximos passos

Trabalhe comparações entre grandezas em razão e proporção: propriedades e divisão proporcional.
Resolva problemas de grandezas em regra de três simples e composta.
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