Negação de proposições compostas e leis de De Morgan

Negar uma proposição composta não é simplesmente colocar um “não” na frente. As leis de De Morgan e a negação do condicional dão regras mecânicas: troca-se o conectivo e negam-se as partes. Quem memoriza esse quadro acerta uma das questões mais repetidas em provas de raciocínio lógico.

A ideia central

A negação de uma proposição é aquela que tem sempre o valor lógico oposto. Se a original é V, a negação é F, e vice-versa, em qualquer situação. Por isso, a negação de uma frase longa precisa “desmontar” a estrutura, e não apenas inverter a última palavra.

Quadro de negações

Proposição	Negação
~(~p)	p
p ∧ q	~p ∨ ~q
p ∨ q	~p ∧ ~q
p → q	p ∧ ~q
p ↔ q	(p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)

As duas linhas do meio são as leis de De Morgan: a negação do “e” vira “ou”, e a do “ou” vira “e”, com as partes negadas.

Por que a negação do “e” é um “ou”

Considere “Ana é médica e Bia é advogada”. Ela só é verdadeira se as duas coisas acontecem. Logo, basta uma falhar para a frase ser falsa. A falha de uma ou da outra é descrita por: “Ana não é médica ou Bia não é advogada”.

Verificação pela tabela de p ∧ q e de ~p ∨ ~q:

p	q	p ∧ q	~p ∨ ~q
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

As colunas finais são sempre opostas, confirmando que uma é a negação da outra.

Por que a negação do condicional é uma conjunção

O condicional p → q só é falso quando p é V e q é F. Portanto, sua negação descreve exatamente esse caso: p ∧ ~q.

Exemplo: “Se o prédio é antigo, então é tombado.”

• Negação correta: “O prédio é antigo e não é tombado.”
• Negação errada: “Se o prédio é antigo, então não é tombado.” (continua sendo uma promessa, não o seu contrário).

Exemplos resolvidos

1. Frase com “ou”. “Pedro viaja ou João estuda.”

Aplicando ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q: “Pedro não viaja e João não estuda.”

2. Frase com “e” e comparação numérica. “x é maior que 3 e x é menor que 10.”

Negação: “x é menor ou igual a 3 ou x é maior ou igual a 10.”

Teste com x = 3: a original é falsa (3 não é maior que 3), e a negação é verdadeira (3 é menor ou igual a 3). Com x = 5: a original é verdadeira, e a negação é falsa, pois 5 não é nem ≤ 3 nem ≥ 10. Os valores são opostos, como deve ser.

3. Frase com três partes. “Hoje faz sol, e o vento é fraco, e a pista está seca.”

A negação do “e” múltiplo é um “ou” múltiplo: “Hoje não faz sol, ou o vento não é fraco, ou a pista não está seca.”

4. Negação do bicondicional. “Uso o carro se e somente se não chove.”

A negação é “Uso o carro e chove, ou não uso o carro e não chove”. Em palavras, é a situação em que os dois lados têm valores diferentes. Também equivale ao “ou… ou…” (disjunção exclusiva).

Negando comparações

Em desigualdades, a negação inclui o caso de igualdade:

Original	Negação
a > b	a ≤ b
a ≥ b	a < b
a = b	a ≠ b

Esquecer o “igual” é o deslize mais comum nesse tipo de questão.

Questão resolvida

Enunciado: A negação de “Se o processo está concluído, então o arquivo foi enviado ou o prazo foi prorrogado” é:

Seja p = “o processo está concluído”, q = “o arquivo foi enviado”, r = “o prazo foi prorrogado”. A frase é p → (q ∨ r).

1. Negação do condicional: p ∧ ~(q ∨ r).
2. De Morgan em ~(q ∨ r): ~q ∧ ~r.
3. Resultado: p ∧ ~q ∧ ~r.

Em palavras: “O processo está concluído, o arquivo não foi enviado e o prazo não foi prorrogado.”

Erros comuns

• Negar “e” com “e”. A negação troca o conectivo por “ou”.
• Negar condicional com condicional. O correto é “p e não q”.
• Trocar o sentido por oposto. Negar “O piso é claro” não é “O piso é escuro”, e sim “O piso não é claro”.
• Esquecer de negar as duas partes. Em De Morgan, troca-se o conectivo e nega-se cada parte.
• Negar apenas o verbo principal. Em frases longas, identifique primeiro o conectivo principal.

Roteiro de resolução

1. Dê nomes às proposições simples (p, q, r).
2. Escreva a frase em símbolos.
3. Identifique o conectivo principal, o de fora dos parênteses.
4. Aplique a regra do quadro.
5. Repita para as partes internas, se necessário.
6. Reescreva em português natural e compare com as alternativas.

Próximos passos

• Reforce os símbolos em proposições lógicas e tabela-verdade.
• Veja a negação de frases com “algum” e “nenhum” em quantificadores e suas negações.
• Entenda como revisamos o material na política editorial.