Quantificadores lógicos: algum, nenhum e suas negações

Quantificadores dizem “quantos” elementos de um conjunto têm certa propriedade. Há o universal (qualquer, cada, para a totalidade dos elementos) e o existencial (algum, existe, pelo menos um). A regra de ouro: a negação de uma frase universal é existencial, e a de uma existencial é universal.

Os tipos de frase

Em provas aparecem quatro modelos, que ligam dois conjuntos A e B:

Tipo	Modelo	Exemplo
Universal afirmativa	Qualquer A é B	Qualquer servidor desta seção é pontual.
Universal negativa	Nenhum A é B	Nenhum servidor desta seção é pontual.
Existencial afirmativa	Algum A é B	Algum servidor desta seção é pontual.
Existencial negativa	Algum A não é B	Algum servidor desta seção não é pontual.

Palavras que sinalizam universalidade: qualquer, cada, os (como em “os servidores são pontuais”), sempre, para toda a coleção. Palavras que sinalizam existência: algum, existe, há, pelo menos um, ao menos um.

Significado de “algum”

Na lógica, “algum” quer dizer “pelo menos um”, podendo ser um só ou até a totalidade. Isso foge da fala cotidiana, em que “algum” sugere “nem todos”. Se a questão disser “Algum aluno é aprovado em simulado”, não se pode concluir que há aluno que não seja. A informação só garante a existência de ao menos um caso.

As quatro negações

Frase	Negação
Qualquer A é B	Algum A não é B
Nenhum A é B	Algum A é B
Algum A é B	Nenhum A é B
Algum A não é B	Qualquer A é B

Memorize assim: para negar, troque o quantificador (universal por existencial e vice-versa) e negue a característica. Quando a frase já é negativa (“nenhum”, “não é”), a negação vira afirmativa.

Por que funcionam

Suponha “Qualquer funcionário da sala assina o ponto”. Para essa frase ser falsa, basta encontrar um único funcionário que não assina: “Algum funcionário da sala não assina o ponto”. Um contraexemplo derruba uma afirmação universal.

Agora “Algum funcionário da sala assina o ponto”. Para ser falsa, nenhum pode assinar: “Nenhum funcionário da sala assina o ponto”. Uma afirmação existencial só cai quando se prova que nenhum caso existe.

O que não é negação

Dois pares geram confusão:

• “Qualquer A é B” e “Nenhum A é B” não são negações um do outro. Podem ser ambos falsos. Exemplo: “Qualquer número da lista é par” e “Nenhum número da lista é par” são ambos falsos se a lista for 2, 3, 4.
• “Algum A é B” e “Algum A não é B” não são negações. Podem ser ambos verdadeiros. Na lista 2, 3, 4, algum número é par (2) e algum não é par (3).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Negue: “Nenhum candidato da turma resolveu todas as questões.”

Troca-se “nenhum” por “algum” e a frase torna-se afirmativa: “Algum candidato da turma resolveu todas as questões.”

Exemplo 2. Negue: “Existe processo sem despacho.”

“Existe” é existencial; a negação é universal: “Qualquer processo tem despacho” (ou “Nenhum processo é sem despacho”).

Exemplo 3 (numérico). Negue: “Para qualquer número natural n, n + 1 é par.”

A negação é existencial: “Existe número natural n tal que n + 1 não é par”. Basta n = 2: 2 + 1 = 3, que é ímpar. Logo, a frase original é falsa e a negação é verdadeira.

Exemplo 4. Qual alternativa nega “Todos os arquivos da pasta estão protegidos”? A resposta correta é “Pelo menos um arquivo da pasta não está protegido”. Opções como “Nenhum arquivo está protegido” são extremas demais.

Quantificadores e conjuntos

Cada frase pode ser desenhada com diagramas:

• “Qualquer A é B”: o círculo A fica inteiro dentro do círculo B.
• “Nenhum A é B”: os círculos são separados, sem interseção.
• “Algum A é B”: os círculos têm interseção (pode ter só um ponto).
• “Algum A não é B”: existe parte de A fora de B.

Desenhar ajuda a decidir se uma conclusão é obrigatória. Se existem várias configurações possíveis para os círculos e a conclusão falha em alguma, ela não é garantida.

Equivalências úteis

• “Qualquer A é B” equivale a “Se é A, então é B”, e assim também à contrapositiva “Se não é B, então não é A”.
• “Nenhum A é B” equivale a “Qualquer A não é B”, isto é, “Se é A, então não é B”.

Exemplo: “Nenhum servidor atrasado recebe elogio” equivale a “Quem recebe elogio não é servidor atrasado”.

Erros comuns

• Negar “qualquer” com “nenhum”, extremo que deixa de fora os casos intermediários.
• Usar “algum” no sentido de “alguns, mas não todos”.
• Esquecer de negar a propriedade ao trocar o quantificador.
• Concluir existência a partir de frase universal: “Qualquer unicórnio é branco” não prova que algum unicórnio exista.
• Confundir a contrapositiva com a recíproca.

Próximos passos

• Treine os diagramas em diagramas de conjuntos: problemas com dois e três conjuntos.
• Revise as negações de conectivos em negação de proposições compostas e leis de De Morgan.
• Veja nossos princípios editoriais.