Proposições lógicas e tabela-verdade: como montar sem errar

Uma proposição é uma frase declarativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), nunca as duas coisas. A tabela-verdade é o quadro que lista todas as combinações de valores possíveis e mostra o resultado de uma proposição composta em cada uma. Dominar esse quadro é a base de quase toda questão de lógica proposicional.

O que é (e o que não é) uma proposição

Para ser proposição, a frase precisa afirmar algo e permitir um julgamento de V ou F. Veja a diferença na prática:

“Brasília é a capital do Brasil.” É proposição (verdadeira).
“7 é menor que 3.” É proposição (falsa).
“Que horas são?” Não é: pergunta não se julga.
“Estude mais.” Não é: ordem não se julga.
“x + 2 = 5.” Não é proposição enquanto x não tiver valor definido; é uma sentença aberta.
“Esta frase é falsa.” Gera paradoxo e não entra em prova como proposição.

O valor lógico de uma proposição simples é V ou F. As letras p, q e r costumam representar proposições simples. Quando você as liga por conectivos, forma uma proposição composta.

Os quatro operadores básicos

Negação (~p). Inverte o valor: se p é V, ~p é F, e vice-versa. “Hoje chove” tem como negação “Hoje não chove”.

Conjunção (p ∧ q), lida “p e q”. Só é verdadeira quando as duas partes são verdadeiras.

Disjunção inclusiva (p ∨ q), lida “p ou q”. É falsa apenas quando as duas partes são falsas. Se ao menos uma é V, o resultado é V.

Disjunção exclusiva (p ⊻ q), lida “ou p ou q”. É verdadeira quando os valores são diferentes, isto é, quando exatamente uma das partes é V.

Resumo em quadro:

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p ⊻ q
V	V	V	V	F
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	F	F

Atenção ao “ou” da língua portuguesa. Na lógica, “ou” sozinho é inclusivo, salvo quando a questão deixar claro que é exclusivo (“ou… ou…”).

Quantas linhas tem a tabela

Cada proposição simples tem 2 valores possíveis, então a quantidade de linhas é 2 elevado ao número de proposições simples diferentes:

1 proposição: 2 linhas.
2 proposições: 4 linhas.
3 proposições: 8 linhas.
4 proposições: 16 linhas.

Para organizar as colunas de entrada sem esquecer nenhuma combinação, alterne os valores em blocos. Com p, q e r: a coluna de p tem 4 V e depois 4 F; a de q tem 2 V, 2 F, 2 V, 2 F; a de r alterna V, F, V, F.

Passo a passo: montando uma tabela

Vamos montar a tabela de p ∧ ~q.

Conte as proposições simples: são duas (p e q), logo 4 linhas.
Escreva as colunas de entrada p e q.
Crie uma coluna auxiliar para ~q, invertendo q.
Aplique o conectivo “e” entre p e ~q.

p	q	~q	p ∧ ~q
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	F

O resultado só é V na segunda linha, quando p é V e q é F. Sempre resolva de dentro para fora: primeiro negações e parênteses, depois os conectivos.

Calculando o valor lógico com valores dados

Muitas questões não pedem a tabela inteira, e sim o valor de uma composta quando os valores das simples já são conhecidos.

Exemplo. Sabendo que p é V, q é F e r é V, determine o valor de (p ∧ q) ∨ ~r.

p ∧ q = V ∧ F = F.
~r = ~V = F.
F ∨ F = F.

Resposta: falsa.

Outro exemplo. Com os mesmos valores, calcule ~(q ∨ r) ∨ p.

q ∨ r = F ∨ V = V.
~(V) = F.
F ∨ p = F ∨ V = V.

Resposta: verdadeira.

Tautologia, contradição e contingência

Depois de montar a tabela, olhe a coluna final:

Tautologia: todas as linhas V. Exemplo clássico: p ∨ ~p.
Contradição: todas as linhas F. Exemplo: p ∧ ~p.
Contingência: mistura de V e F, como a p ∧ ~q que montamos acima.

Verificação de p ∨ ~p: se p é V, o resultado é V ∨ F = V; se p é F, é F ∨ V = V. Nas duas linhas dá V, então é tautologia.

Erros comuns

Esquecer linhas. Com 3 proposições são 8 linhas, não 6. Use sempre a conta 2 elevado a n.
Tratar “ou” como exclusivo. Sem “ou… ou…”, o “ou” é inclusivo e vale V quando as duas são V.
Negar errado. A negação de “Maria é alta” é “Maria não é alta”, e não “Maria é baixa”. Alta e baixa são opostos que deixam espaço no meio.
Julgar frase que não é proposição. Perguntas e ordens ficam fora da tabela.
Pular a coluna auxiliar. Resolver tudo de cabeça aumenta a chance de erro; escreva cada etapa.

Como treinar

Pegue frases do dia a dia, dê nome às proposições simples (p, q, r) e invente valores. Depois resolva a composta em voz alta, etapa por etapa. Faça isso até a negação e o “e/ou” virarem reflexo; só então avance para o condicional.

Próximos passos

Estude o “se… então” em condicional e bicondicional: tabela-verdade e equivalências.
Aprenda a negar compostas em negação de proposições compostas e leis de De Morgan.
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