Condicional e bicondicional: tabela-verdade e equivalências

O condicional (“se p, então q”) é falso em apenas um caso: quando p é verdadeiro e q é falso. O bicondicional (“p se e somente se q”) é verdadeiro quando p e q têm o mesmo valor. Entender essas duas regras e as equivalências do condicional resolve boa parte das questões de lógica proposicional.

O condicional: p → q

Em “Se p, então q”, p é chamado de antecedente e q de consequente. A promessa só é quebrada quando o antecedente acontece e o consequente não.

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Pense numa promessa: “Se você passar na prova, eu pago um jantar”. Ela só é descumprida se você passa e eu não pago. Se você não passa, não há descumprimento, seja qual for o meu comportamento. Por isso, antecedente falso torna o condicional verdadeiro.

Exemplos de valor lógico:

“Se 3 é maior que 5, então 2 é par.” Antecedente F, logo o condicional é V.
“Se 10 é par, então 10 é múltiplo de 4.” Antecedente V, consequente F (10 não é múltiplo de 4), logo F.
“Se Brasília é capital federal, então fica no Distrito Federal.” V e V, logo V.

Condições suficiente e necessária: em p → q, p é condição suficiente para q, e q é condição necessária para p. Frases como “q, se p”, “p somente se q” e “quando p, q” também expressam p → q. Cuidado: “p somente se q” é p → q, e não q → p.

O bicondicional: p ↔ q

Significa “p se e somente se q”. É verdadeiro quando as duas proposições têm o mesmo valor, e falso quando têm valores diferentes.

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Ele equivale à conjunção de duas mãos do condicional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).

Exemplo. “3 + 3 = 6 se e somente se 4 é ímpar.” A primeira parte é V, a segunda é F, logo o bicondicional é F.

Outro exemplo. “9 é par se e somente se 9 é múltiplo de 2.” Ambas as partes são F, mesmo valor, então é V.

Equivalências do condicional

Duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade. Para p → q existem duas equivalências que você precisa saber de cor:

Contrapositiva: p → q ≡ ~q → ~p (nega e troca de lugar).
Disjunção: p → q ≡ ~p ∨ q (nega o primeiro, mantém o segundo, troca “então” por “ou”).

Verificando a segunda equivalência

Monte a tabela de ~p ∨ q:

p	q	~p	~p ∨ q	p → q
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

As duas últimas colunas coincidem, então são equivalentes.

Aplicando em frases

Frase original: “Se o servidor estuda, então rende no trabalho.”

Contrapositiva: “Se não rende no trabalho, então o servidor não estuda.”
Forma com “ou”: “O servidor não estuda ou rende no trabalho.”

Todas dizem o mesmo. Agora o que não é equivalente:

Recíproca (q → p): “Se rende no trabalho, então estuda.” Não equivale à original.
Inversa (~p → ~q): “Se não estuda, então não rende.” Também não equivale.

A recíproca e a inversa são equivalentes entre si (cada uma é a contrapositiva da outra), mas diferem da proposição original. A banca adora oferecer a recíproca como alternativa tentadora.

Questão resolvida

Enunciado: Qual é a proposição equivalente a “Se Ana viaja, então Beto trabalha”?

a) Se Beto trabalha, então Ana viaja. b) Se Ana não viaja, então Beto não trabalha. c) Se Beto não trabalha, então Ana não viaja. d) Ana viaja e Beto não trabalha.

Resolução: com p = “Ana viaja” e q = “Beto trabalha”, a frase é p → q.

(a) é q → p, a recíproca: não equivale.
(b) é ~p → ~q, a inversa: não equivale.
(c) é ~q → ~p, a contrapositiva: equivale.
(d) é p ∧ ~q, a negação da frase original: o oposto.

Resposta: (c).

Atalho para testar alternativas

Se a tabela completa for longa, procure o único caso em que o condicional original é falso (p = V e q = F). Se uma alternativa também é falsa exatamente nesse caso e verdadeira nos outros, é equivalente. Esse raciocínio de “uma única linha falsa” economiza tempo.

Erros comuns

Achar que antecedente falso torna tudo falso. É o contrário: o condicional fica verdadeiro.
Trocar condicional por recíproca. “Se p, então q” não garante “se q, então p”.
Confundir “somente se” com “se”. “Passo somente se estudo” quer dizer “se passo, então estudo”.
Confundir negação e equivalência. Negar um condicional gera uma conjunção, e não outro condicional; esse assunto aparece no guia de negações.
Esquecer que o bicondicional exige valores iguais. F ↔ F é verdadeiro.

Próximos passos

Revise a base em proposições lógicas e tabela-verdade.
Aprenda a negar o condicional em negação de proposições compostas e leis de De Morgan.
Conheça nossos critérios editoriais.