Diagramas de conjuntos: problemas com dois e três conjuntos

Problemas de conjuntos pedem quantos elementos estão em cada região de um diagrama de Venn. O segredo é partir da interseção e preencher de dentro para fora, nunca somando totais sem descontar o que foi contado duas vezes.

Notação essencial

n(A): quantidade de elementos de A.
A ∩ B (interseção): elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.
A ∪ B (união): elementos que estão em A ou em B (ou nos dois).
A − B (diferença): elementos que estão em A e não estão em B.
Conjunto vazio: sem elementos.
Universo: todos os elementos considerados no problema.

Fórmula da união para dois conjuntos

Ao somar n(A) e n(B), os elementos da interseção entram duas vezes. Por isso:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Exemplo resolvido: dois conjuntos

Em um grupo de 60 pessoas, 35 leem o jornal A, 28 leem a revista B e 12 leem os dois. Quantas não leem nenhum dos dois?

União: 35 + 28 − 12 = 51 pessoas leem pelo menos um.
Nenhum: 60 − 51 = 9 pessoas.

Para completar o diagrama:

Só jornal A: 35 − 12 = 23.
Só revista B: 28 − 12 = 16.
Ambos: 12.
Nenhum: 9.
Conferência: 23 + 16 + 12 + 9 = 60. Fecha.

Regra de ouro do preenchimento

Quando o enunciado dá informações sobre “somente” ou sobre a interseção, comece sempre pela região mais interna. Em seguida, subtraia para achar as regiões vizinhas. Ao final, some tudo e compare com o total. Se não fechar, há erro de conta ou o enunciado trouxe dados inconsistentes.

Cuidado com a diferença entre “leem A” (inclui quem lê também B) e “leem somente A” (exclui). Quase todo erro vem dessa troca.

Três conjuntos

A fórmula da união com três conjuntos é:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

A parte central (a interseção tripla) é somada três vezes, subtraída três vezes e precisa voltar uma vez, por isso o sinal de mais no final.

Exemplo resolvido: três conjuntos

Num grupo de 60 pessoas, 30 estudam Português (P), 25 estudam Matemática (M) e 20 estudam Informática (I). Sabe-se que 10 estudam P e M, 8 estudam P e I, 6 estudam M e I, e 4 estudam as três. Quantas não estudam nenhuma das três?

Soma simples: 30 + 25 + 20 = 75.
Subtrai as interseções duas a duas: 10 + 8 + 6 = 24, e 75 − 24 = 51.
Soma a tripla: 51 + 4 = 55.
Nenhuma: 60 − 55 = 5.

Agora o diagrama, de dentro para fora:

Centro (P, M e I): 4.
Somente P e M: 10 − 4 = 6.
Somente P e I: 8 − 4 = 4.
Somente M e I: 6 − 4 = 2.
Somente P: 30 − 6 − 4 − 4 = 16.
Somente M: 25 − 6 − 2 − 4 = 13.
Somente I: 20 − 4 − 2 − 4 = 10.
Conferência: 16 + 13 + 10 + 6 + 4 + 2 + 4 = 55, e com os 5 de fora temos 60.

Com o diagrama pronto, qualquer pergunta vira leitura: “quantos estudam exatamente duas matérias?” é 6 + 4 + 2 = 12; “quantos estudam apenas uma?” é 16 + 13 + 10 = 39.

Quando só há dados parciais

Exemplo. Em uma turma de 40 alunos, 24 gostam de leitura, 18 gostam de cinema e 5 não gostam de nenhum. Quantos gostam dos dois?

Quem gosta de pelo menos um: 40 − 5 = 35.
Pela fórmula: 35 = 24 + 18 − x.
35 = 42 − x, logo x = 7.

Resposta: 7 alunos gostam dos dois. Conferência: só leitura = 17, só cinema = 11, ambos = 7, nenhum = 5. Soma: 17 + 11 + 7 + 5 = 40.

Máximo e mínimo da interseção

Há questões que pedem o menor ou o maior valor possível da interseção.

Exemplo. Em 50 pessoas, 30 usam transporte coletivo e 35 usam bicicleta. Qual é o mínimo e qual é o máximo de pessoas que usam os dois?

Mínimo: a união deve ser a maior possível, que é o total de 50. Então 50 = 30 + 35 − x, e x = 15.
Máximo: o conjunto menor fica inteiro dentro do maior, então x = 30.

Regra geral: o mínimo da interseção ocorre quando a união é a maior possível (limitada pelo total), e o máximo ocorre quando um conjunto está dentro do outro (máximo igual ao menor conjunto). Se o enunciado disser que todos usam pelo menos um dos dois, a união é fixa em 50 e a interseção é exatamente 15.

Erros comuns

Somar n(A) e n(B) e chamar de união, esquecendo de descontar a interseção.
Colocar o total de A na região “somente A”.
Esquecer o conjunto de fora (quem não pertence a nenhum).
Começar o preenchimento pelas regiões externas, o que obriga a retrabalhar depois.
Não conferir a soma final com o total do enunciado.

Dica de prova

Desenhe sempre, mesmo que a fórmula pareça suficiente. O desenho reduz o risco de leitura errada de “somente”, “pelo menos” e “exatamente”. Rotule as regiões com letras e escreva cada subtração à margem.

Próximos passos

Aplique a mesma lógica a frases em quantificadores lógicos: algum, nenhum e suas negações.
Pratique contas de proporção em razão e proporção: propriedades e divisão proporcional.
Conheça a política editorial do portal.