Distribuição normal, escore z e regra empírica, com exemplos

A distribuição normal é a “curva em sino” da estatística: simétrica em torno da média, com a maior parte dos valores perto do centro e poucos nas pontas. Em provas, ela costuma vir em três formatos: padronizar um valor (escore z), aplicar a regra empírica (também chamada regra dos três sigmas) e consultar uma tabela fornecida no enunciado.

O que define uma normal

Uma variável com distribuição normal fica determinada por dois parâmetros:

μ (média): o centro da curva. Em uma normal, média, mediana e moda coincidem.
σ (desvio padrão): controla a largura. Quanto maior, mais achatada e aberta é a curva.

A curva é simétrica: a área à esquerda de μ é igual à da direita, cada uma com metade da probabilidade total. A área total sob a curva é 1.

Escore z: padronizando

O escore z diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média:

z = (x - μ) / σ

Exemplo: as notas de um simulado seguem uma normal com média 60 e desvio padrão 5.

Para x = 70: z = (70 - 60) / 5 = 2. A nota está 2 desvios acima da média.
Para x = 52: z = (52 - 60) / 5 = -1,6. A nota está 1,6 desvio abaixo da média.
Para x = 60: z = 0. É a própria média.

A padronização transforma qualquer normal na normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). É assim que as tabelas funcionam: uma só tabela atende todas as normais, depois de padronizar.

Comparação entre grupos com escalas diferentes: um candidato tirou 70 em um simulado com média 60 e desvio 5 (z = 2); outro tirou 80 em outro simulado com média 72 e desvio 8 (z = 1). O primeiro foi melhor em relação ao seu grupo, mesmo com nota absoluta menor. Essa comparação por escore z é uma questão clássica.

Regra empírica (68, 95 e 99,7)

Para uma distribuição normal, aproximadamente:

Intervalo	Proporção dos valores
μ ± 1σ	cerca de 68%
μ ± 2σ	cerca de 95%
μ ± 3σ	cerca de 99,7%

Com a média 60 e o desvio padrão 5 do exemplo:

Entre 55 e 65 (μ ± 1σ): cerca de 68% das notas.
Entre 50 e 70 (μ ± 2σ): cerca de 95% das notas.
Entre 45 e 75 (μ ± 3σ): cerca de 99,7% das notas.

Probabilidades de uma cauda, usando simetria

Fora de μ ± 2σ ficam cerca de 100% - 95% = 5% dos valores, divididos em duas caudas simétricas de aproximadamente 2,5% cada. Logo, a chance de uma nota ser maior que 70 é cerca de 2,5%. A chance de ficar entre 60 e 70 é metade de 95%, isto é, cerca de 47,5%.

Para μ ± 1σ: fora ficam 32%, ou 16% em cada cauda. A chance de uma nota passar de 65 é cerca de 16%, e a de ficar entre 60 e 65 é cerca de 34%.

Raciocínio por simetria resolve muitas questões sem tabela. A regra é uma aproximação; se o enunciado trouxer uma tabela da normal padrão, siga os valores da tabela.

Usando uma tabela da normal padrão

A tabela costuma fornecer a área entre 0 e z (ou à esquerda de z). O procedimento:

Padronize: z = (x - μ) / σ.
Identifique qual área a questão pede (à esquerda, à direita ou entre dois valores).
Use a simetria: a área entre -z e +z é o dobro da área entre 0 e z; a área à direita de +z é igual à área à esquerda de -z.
Confira o que a tabela entrega (área acumulada ou área a partir do zero) antes de usar o número.

Exemplo: se a tabela do enunciado informar que a área entre 0 e 1,00 é 0,3413, então a área entre -1 e +1 é 2 x 0,3413 = 0,6826, o que bate com os 68% da regra empírica. E a área à direita de 1,00 é 0,5 - 0,3413 = 0,1587.

Aplicação: limiar de aprovação

Imagine um grupo de notas que segue uma normal com média 60 e desvio 5. Um critério fictício exige estar a pelo menos 2 desvios acima da média. A nota mínima seria 60 + 2 x 5 = 70, e apenas cerca de 2,5% das notas do grupo chegariam a esse patamar. O raciocínio vale para qualquer limiar: converta o desvio em nota (x = μ + zσ) ou a nota em z.

Quando a normal aparece

Em medidas naturais agregadas (alturas, erros de medição), com boa aproximação.
Como aproximação de distribuições de médias de amostras grandes (Teorema Central do Limite).
Em controle de qualidade, para definir limites de tolerância em torno da média.

O Teorema Central do Limite diz, em linhas gerais, que a distribuição das médias amostrais se aproxima da normal quando o tamanho da amostra aumenta, mesmo que os dados originais não sejam normais. A média das médias amostrais coincide com μ, e o desvio padrão delas (erro padrão) é σ dividido pela raiz do tamanho da amostra. Exemplo: com σ = 5 e amostra de 25 notas, o erro padrão é 5 / raiz(25) = 5 / 5 = 1.

Erros comuns

Calcular z como (μ - x) / σ e inverter o sinal.
Aplicar 68-95-99,7 a distribuições que não são aproximadamente normais.
Esquecer de usar a simetria e fazer contas desnecessárias.
Dizer que “99,7% significa que nenhum valor passa de 3σ”: ainda existem valores fora, só que raros.
Confundir desvio padrão (dispersão dos dados) com erro padrão (dispersão das médias).

Próximos passos

Revise a base em variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Veja a distribuição de contagens em distribuição binomial: sucessos em tentativas independentes.
Reveja a teoria de chances em probabilidade básica.

Fontes e atualização

Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de uma especialidade de análise de dados lista distribuição normal, teorema central do limite e a regra empírica (três sigmas).
Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo da especialidade de Estatística lista a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite.

Os valores da regra empírica são aproximações; os cálculos do guia foram conferidos. Confira no edital do seu concurso quais tópicos são cobrados.