Distribuição binomial: sucessos em tentativas independentes

A distribuição binomial responde a uma pergunta frequente: em n tentativas independentes, com a mesma chance de sucesso em cada uma, qual a probabilidade de obter exatamente k sucessos? Ela está no conteúdo de probabilidade de editais de nível superior e se resolve com uma fórmula curta, desde que você reconheça as condições.

Quando a binomial se aplica

Quatro condições, todas necessárias:

Há um número fixo n de tentativas.
Cada tentativa tem só dois resultados: sucesso ou fracasso.
A probabilidade de sucesso, p, é a mesma em todas as tentativas.
As tentativas são independentes: o resultado de uma não altera as outras.

Exemplo que não é binomial: sortear 3 bolas de uma urna sem reposição e contar as vermelhas. A probabilidade muda a cada retirada, porque a composição da urna muda. Com reposição, seria binomial.

A fórmula

Seja X o número de sucessos em n tentativas, com probabilidade de sucesso p e de fracasso q = 1 - p:

P(X = k) = C(n, k) x p^k x q^(n - k)

onde C(n, k) = n! / (k! x (n - k)!) é o número de maneiras de escolher quais tentativas serão os sucessos.

Medidas da binomial:

Média: n x p
Variância: n x p x q
Desvio padrão: raiz de (n x p x q)

Exemplo 1: chute em prova de cinco alternativas

Um candidato resolve responder 5 questões ao acaso. Cada uma tem 5 alternativas e uma só correta. Então p = 1/5 = 0,2 e q = 0,8, com n = 5.

Probabilidade de acertar exatamente 2:

P(X = 2) = C(5, 2) x 0,2² x 0,8³ = 10 x 0,04 x 0,512 = 0,20480.

Passos: C(5, 2) = 5! / (2! x 3!) = 10; 0,2² = 0,04; 0,8³ = 0,512; 10 x 0,04 = 0,4; 0,4 x 0,512 = 0,20480. Cerca de 20,5%.

Distribuição completa (para conferir que a soma é 1):

k	C(5, k)	P(X = k)
0	1	0,8⁵ = 0,32768
1	5	5 x 0,2 x 0,8⁴ = 0,40960
2	10	0,20480
3	10	10 x 0,2³ x 0,8² = 0,05120
4	5	5 x 0,2⁴ x 0,8 = 0,00640
5	1	0,2⁵ = 0,00032

Soma: 0,32768 + 0,40960 + 0,20480 + 0,05120 + 0,00640 + 0,00032 = 1. Confere.

Média e variância: média = 5 x 0,2 = 1 acerto esperado; variância = 5 x 0,2 x 0,8 = 0,8.

“Pelo menos 3 acertos”: some de 3 a 5: 0,05120 + 0,00640 + 0,00032 = 0,05792, cerca de 5,8%. Chutar tudo dá pouca chance de ir bem, o que reforça a lição de estudar em vez de apostar. Nas provas de certo ou errado, o cálculo muda: veja nota líquida em Certo/Errado.

Exemplo 2: pelo menos um, pelo complementar

Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma cara?

O complementar de “pelo menos uma cara” é “nenhuma cara” (4 coroas). Com p = 0,5: P(X = 0) = 0,5⁴ = 1/16. Logo, P(pelo menos uma) = 1 - 1/16 = 15/16, ou 0,9375.

Dica: sempre que o enunciado disser “pelo menos um”, teste o complementar. Calcular só um termo costuma ser mais rápido do que somar vários.

Exemplo 3: peças defeituosas

Em um lote grande, a chance de uma peça ser defeituosa é 0,1. Escolhidas 3 peças ao acaso (lote grande, de modo que a retirada pode ser tratada como independente), qual a probabilidade de exatamente uma ser defeituosa?

n = 3, k = 1, p = 0,1, q = 0,9. P(X = 1) = C(3, 1) x 0,1 x 0,9² = 3 x 0,1 x 0,81 = 0,243.

A observação sobre “lote grande” é importante: a binomial é aproximação quando a retirada é sem reposição de uma população muito maior que a amostra. O enunciado costuma sinalizar isso.

Como reconhecer na prova

Sinais de binomial: “em 10 lançamentos”, “entre 8 itens escolhidos ao acaso”, “cada pessoa tem a mesma chance”, “probabilidade de exatamente k”. Passos:

Defina o que é “sucesso” (pode ser algo ruim, como defeito).
Anote n, p e k.
Monte C(n, k) x p^k x q^(n - k).
Se pedir “no máximo” ou “pelo menos”, decida entre somar os termos ou usar o complementar.
Verifique a plausibilidade: o resultado fica entre 0 e 1 e é maior perto de n x p.

Relação com a normal

Quando n é grande, a binomial pode ser aproximada por uma normal com média n x p e desvio padrão raiz(n x p x q). A condição usual é n x p e n x q suficientemente grandes. O enunciado indicará se a aproximação é permitida; veja distribuição normal.

Erros comuns

Esquecer o coeficiente C(n, k) e calcular só p^k x q^(n - k).
Usar a binomial quando as tentativas não são independentes (sem reposição em população pequena).
Trocar p por q: p é a chance do que você chama de sucesso.
Em “no máximo 2”, esquecer o termo k = 0.
Confundir P(X = k) com P(X maior ou igual a k).

Próximos passos

Revise a base em probabilidade básica.
Aprofunde em probabilidade condicional e teorema de Bayes.
Reforce o cálculo de combinações em anagramas e contagem com restrições.

Fontes e atualização

Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de uma especialidade de análise de dados lista as distribuições de Bernoulli, binomial, multinomial e normal.
Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo da especialidade de Estatística lista distribuições de probabilidades e distribuições especiais.

As contas foram conferidas, inclusive a soma das probabilidades. Confira no edital do seu concurso se o tema é cobrado.