Razão e proporção: propriedades e divisão proporcional

Razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão; proporção é a igualdade entre duas razões. Com a propriedade fundamental da proporção e a ideia de constante de proporcionalidade, você resolve desde escalas de mapa até divisões de valores entre pessoas.

Razão

A razão entre a e b (com b diferente de zero) é a ÷ b, também escrita a/b ou a : b. O primeiro termo é o antecedente, o segundo é o consequente.

Exemplos práticos:

Em uma sala há 12 mulheres e 18 homens. A razão de mulheres para homens é 12/18 = 2/3.
Um carro percorre 150 quilômetros em 2 horas. A razão entre distância e tempo (velocidade média) é 150/2 = 75 quilômetros por hora.
Uma amostra tem 300 gramas e ocupa 100 centímetros cúbicos. A razão massa/volume (densidade) é 3 gramas por centímetro cúbico.

Note que a ordem importa: a razão 2/3 é diferente de 3/2. Em questões, leia “a razão de A para B” como A dividido por B.

Proporção e propriedade fundamental

Quatro números a, b, c, d formam uma proporção quando a/b = c/d. Nela, b e c são os meios e a e d são os extremos.

Propriedade fundamental: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a × d = b × c.

Exemplo. Ache x na proporção 6/9 = 10/x.

Produto cruzado: 6 × x = 9 × 10.
6x = 90.
x = 15.

Conferência: 6/9 = 2/3 e 10/15 = 2/3. Igual.

Outras propriedades que ajudam:

a/b = c/d implica (a + b)/b = (c + d)/d.
a/b = c/d implica (a + c)/(b + d) = a/b. A soma dos antecedentes sobre a soma dos consequentes mantém a razão.

Exemplo. Se a/b = 3/5 e a + b = 40, ache a e b.

(a + b)/b = (3 + 5)/5 = 8/5.
40/b = 8/5, logo b = 40 × 5 ÷ 8 = 25.
a = 40 − 25 = 15.

Conferência: 15/25 = 3/5 e 15 + 25 = 40.

Razão em partes

Quando a questão informa a razão entre duas quantidades e o total, pense em “partes”.

Exemplo. Em um grupo de 40 pessoas, a razão entre homens e mulheres é 3 para 5.

Número de partes: 3 + 5 = 8.
Valor de cada parte: 40 ÷ 8 = 5.
Homens: 3 × 5 = 15. Mulheres: 5 × 5 = 25.

Conferência: 15 + 25 = 40, e 15/25 = 3/5.

Escala

Escala é a razão entre a medida no desenho e a medida real, ambas na mesma unidade.

Exemplo. Um mapa tem escala 1 : 50 000. Dois pontos distam 4 centímetros no mapa. Qual é a distância real?

Real = 4 × 50 000 = 200 000 centímetros.
200 000 cm = 2 000 metros = 2 quilômetros.

Erro frequente: esquecer de converter a unidade ao final. Lembre que 100 000 centímetros equivalem a 1 quilômetro.

Divisão diretamente proporcional

Dividir um valor em partes diretamente proporcionais a certos números é dar mais a quem tem número maior, com razão constante k.

Exemplo. Divida 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

Soma dos números: 2 + 3 + 4 = 9.
Constante: k = 360 ÷ 9 = 40.
Partes: 2 × 40 = 80; 3 × 40 = 120; 4 × 40 = 160.

Conferência: 80 + 120 + 160 = 360.

Aplicação. Três sócios investiram 2, 3 e 4 mil reais em um negócio e o lucro foi de 360 reais. Cada um recebe na proporção do que investiu: 80, 120 e 160 reais.

Divisão inversamente proporcional

Partes inversamente proporcionais a certos números são diretamente proporcionais aos inversos desses números. Quem tem o número maior recebe menos.

Exemplo. Divida 120 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 6.

Inversos: 1/2, 1/3 e 1/6.
Denominador comum 6: 3/6, 2/6 e 1/6. Basta usar os numeradores 3, 2 e 1.
Soma: 3 + 2 + 1 = 6, e k = 120 ÷ 6 = 20.
Partes: 3 × 20 = 60; 2 × 20 = 40; 1 × 20 = 20.

Conferência: 60 + 40 + 20 = 120. E 60 × 2 = 40 × 3 = 20 × 6 = 120, o produto constante típico das grandezas inversas.

Aplicação. Três funcionários faltaram 2, 3 e 6 vezes e um prêmio de 120 reais é dividido de forma inversamente proporcional às faltas: recebem 60, 40 e 20 reais.

Divisão composta

Há casos em que a divisão é direta em relação a uma característica e inversa em relação a outra. Multiplique os fatores correspondentes.

Exemplo. Divida 90 entre duas pessoas, diretamente proporcional às idades 10 e 20 e inversamente proporcional aos pesos 2 e 5.

Para a primeira: 10 × (1/2) = 5.
Para a segunda: 20 × (1/5) = 4.
Soma: 5 + 4 = 9, e k = 90 ÷ 9 = 10.
Partes: 5 × 10 = 50 e 4 × 10 = 40.

Conferência: 50 + 40 = 90.

Erros comuns

Inverter a ordem da razão: “A para B” é A/B.
Misturar unidades diferentes na mesma razão (por exemplo, centímetros e metros).
Dividir por inverso errado em partes inversamente proporcionais; sempre use 1 dividido pelo número.
Esquecer de somar as partes antes de achar a constante.
Aplicar o produto cruzado em equações que não são proporções.

Dica final

Em qualquer divisão proporcional, o caminho é sempre o mesmo: escolha os números certos (os próprios ou seus inversos), some, calcule a constante e multiplique. Faça a soma final das partes como prova real.

Próximos passos

Aplique razões a grandezas em regra de três simples e composta.
Revise taxas e fatores em porcentagem: aumentos, descontos e variações sucessivas.
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