Relógios: ângulo entre os ponteiros e horários de encontro

Questões de relógio pedem sempre uma de duas coisas: o ângulo formado pelos ponteiros em certo horário, ou o horário em que os ponteiros formam certo ângulo (juntos, opostos, perpendiculares). Quem decora a fórmula sem entender de onde ela vem erra os casos com minutos quebrados. Este guia deduz a fórmula, resolve os modelos clássicos e confere cada resultado com frações exatas.

De onde vêm as velocidades

O mostrador tem 360 graus e 12 horas, ou 60 minutos de marcação.

O ponteiro dos minutos dá uma volta (360°) em 60 min: anda 6° por minuto.
O ponteiro das horas dá uma volta em 12 h = 720 min: anda 0,5° por minuto (30° por hora).

A hora vale 60 minutos e o dia 24 horas, conforme a tabela de unidades aceitas com o SI publicada pelo Inmetro. O grau, como unidade de ângulo, também é aceito para uso com o SI.

Contando os ângulos a partir do 12:

ponteiro das horas às H horas e M minutos: 30H + 0,5M;
ponteiro dos minutos: 6M.

A diferença é 6M − (30H + 0,5M) = 5,5M − 30H, tomada em módulo.

Fórmula do ângulo

θ = | 30H − 5,5M |. Se o resultado passar de 180°, o ângulo menor entre os ponteiros é 360° − θ.

Horário	30H − 5,5M	Ângulo menor
3h00	90 − 0 = 90°	90°
6h00	180 − 0 = 180°	180°
12h30	0 − 165 = 165° em módulo	165°
2h40	60 − 220 = 160° em módulo	160°
9h15	270 − 82,5 = 187,5°	360 − 187,5 = 172,5°
4h20	120 − 110 = 10°	10°
10h10	300 − 55 = 245°	360 − 245 = 115°

Todos os valores foram conferidos por código. Note que às 9h15 o ponteiro das horas não está sobre o 9: já andou 0,5° por minuto durante 15 min (7,5°). Esquecer esse deslocamento é o erro mais comum.

Para usar H, converta para o relógio de 12 horas

Às 15h, use H = 3 (ou aplique módulo 360 depois). A fórmula funciona com H maior que 12 se você tirar o resto por 360 antes de decidir o ângulo menor.

Quando os ponteiros se encontram

Os ponteiros se sobrepõem quando θ = 0, isto é, 5,5M = 30H, logo M = 30H ÷ 5,5 = 60H ÷ 11.

Entre 3 e 4 horas (H = 3): M = 180 ÷ 11 = 16 4/11 min, ou seja, 3h16min e cerca de 22 segundos.
Às 12h: H = 0 e M = 0, o encontro inicial.

Quantas vezes se sobrepõem num dia? A fórmula dá M = 60H ÷ 11 para H de 0 a 10, e depois o encontro seguinte volta às 12h. Em 12 horas são 11 encontros; em 24 horas, 22. A razão: o ponteiro dos minutos dá 12 voltas e o das horas dá 1; o dos minutos “ganha” 11 voltas sobre o das horas.

Ponteiros opostos e perpendiculares

Opostos (θ = 180°): 5,5M − 30H = ±180.
Perpendiculares (θ = 90° ou 270°): 5,5M − 30H = ±90 (ou ±270).

Exemplo resolvido: perpendiculares depois das 3

Às 3h00, o ângulo já é 90°, mas o ponteiro dos minutos corre mais rápido. Qual o próximo horário com 90°?

Queremos 5,5M − 90 = 90, logo 5,5M = 180.
M = 180 ÷ 5,5 = 32,727… min = 32 8/11 min, ou 3h32min44s aproximadamente.
Conferência: o ponteiro dos minutos está em 6 × 32,727 = 196,36°, e o das horas em 90 + 16,36 = 106,36°. A diferença é 90°. Correto.

Exemplo resolvido: ângulo de 60° depois das 2

Às 2h, o ponteiro das horas está em 60° e o dos minutos em 0°. Quando o ângulo será 60° pela primeira vez depois disso?

Equação: 5,5M − 60 = 60 resolve M = 120 ÷ 5,5 = 21,8 min (aproximadamente 21 9/11 min).
Antes disso, o ângulo parte de 60°, vai a 0° (encontro) e volta a crescer. O encontro ocorre em M = 120 ÷ 11 = 10,9 min.
Portanto, entre 2h e 3h, o ângulo é 60° em 2h00 e de novo em torno de 2h21 min 49 s.

Quadro de erros comuns

Erro	Como evitar
Esquecer o deslocamento do ponteiro das horas	Use sempre 30H + 0,5M
Dar o ângulo maior (acima de 180°)	Subtraia de 360°
Contar a sobreposição como 12 em 12 horas	São 11 em 12 horas
Tratar minutos decimais como segundos	0,5 min = 30 s; 0,3636 min = 21,8 s
Confundir o símbolo ′ (minuto de ângulo) com min (minuto de tempo)	O primeiro vale 1/60 de grau; o segundo, 60 s

Conferência por posições

Para checar uma resposta, calcule a posição de cada ponteiro separadamente. Às 4h20: o ponteiro dos minutos está em 20 × 6 = 120° e o das horas em 4 × 30 + 20 × 0,5 = 130°. A diferença é 10°, o mesmo valor da fórmula. Esse método em duas posições evita erro de sinal e funciona também para horários com minutos decimais.

Próximos passos

Revise a conversão de tempo em unidades de medida: conversão de tempo, área, volume e velocidade.
Veja movimentos em problemas de movimento e de trabalho.
Treine equações em equações e inequações do 1º e 2º grau.

Fontes e atualização

Sistema Internacional de Unidades (SI), brochura em português, Inmetro

Brochura aberta e lida na data de publicação deste guia (relações entre hora, minuto e grau). Os cálculos foram conferidos com aritmética de frações exatas. O edital define o programa da prova; confira-o.