Problemas de movimento e de trabalho: velocidade e rendimento

Problemas de movimento e de trabalho parecem diferentes, mas têm a mesma estrutura: uma grandeza que acumula (distância ou serviço) igual a uma taxa (velocidade ou rendimento) vezes o tempo. Quem escreve essa relação logo no início e cuida das unidades acerta a maioria. Este guia complementa a regra de três simples e composta, mostrando o raciocínio por taxa.

Movimento: a relação básica

Distância = velocidade × tempo, ou d = v · t. Dela saem v = d/t e t = d/v.

Unidades. Misturar km/h com metros e segundos é a causa número um de erro. Para converter km/h em m/s, divida por 3,6; para o inverso, multiplique por 3,6. Exemplo: 72 km/h = 72 ÷ 3,6 = 20 m/s. Confirmação: 20 m/s em 3.600 segundos (uma hora) dá 72.000 m, isto é, 72 km.

Tempo em horas e minutos. 1,5 h = 1 h 30 min. 2 h 20 min = 2 + 20/60 = 7/3 h.

Velocidade média: não é a média das velocidades

Velocidade média = distância total ÷ tempo total.

Exemplo. Um carro vai de A a B a 60 km/h e volta pelo mesmo caminho a 40 km/h. Qual a velocidade média no percurso todo?

Escolha uma distância conveniente, por exemplo 120 km por trecho (a resposta não depende dela).

Ida: 120 ÷ 60 = 2 h.
Volta: 120 ÷ 40 = 3 h.
Total: 240 km em 5 h, então 240 ÷ 5 = 48 km/h.

A média aritmética (50 km/h) está errada, porque o carro passa mais tempo na velocidade menor. Para distâncias iguais, a velocidade média é a média harmônica: 2 · 60 · 40 ÷ (60 + 40) = 4.800 ÷ 100 = 48 km/h.

Encontro e ultrapassagem

Sentidos opostos (aproximação): as velocidades se somam. Dois veículos partem ao mesmo tempo de cidades distantes 300 km, um a 60 km/h e outro a 90 km/h, um em direção ao outro. A velocidade de aproximação é 150 km/h. Tempo de encontro: 300 ÷ 150 = 2 h. Conferência: o primeiro andou 120 km, o segundo 180 km, e 120 + 180 = 300.

Mesmo sentido (alcance): as velocidades se subtraem. Um carro a 80 km/h está 20 km atrás de outro, que anda a 60 km/h. Velocidade de alcance: 20 km/h. Tempo: 20 ÷ 20 = 1 h. Conferência: em 1 h o primeiro andou 80 km e o segundo 60 km, e a diferença de 20 km foi zerada.

Trem, ponte e poste

Quando o objeto tem comprimento, a distância a percorrer inclui esse comprimento.

Passar por um poste ou pessoa parada: distância = comprimento do trem.
Atravessar uma ponte ou túnel: distância = comprimento do trem + comprimento da ponte.

Exemplo. Um trem de 200 m, a 72 km/h, atravessa uma ponte de 400 m. Quanto tempo gasta desde a entrada da frente até a saída do fim do trem? A velocidade é 20 m/s. Distância: 200 + 400 = 600 m. Tempo: 600 ÷ 20 = 30 s.

Trabalho: o rendimento por unidade de tempo

Considere o serviço inteiro como 1. Quem faz o serviço sozinho em t horas rende 1/t por hora. Quando os agentes trabalham juntos, os rendimentos se somam.

Duas torneiras. A enche um tanque em 6 h e B em 3 h. Juntas: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 do tanque por hora. Tempo: 1 ÷ (1/2) = 2 h.

Com ralo. Uma torneira enche um tanque em 4 h e um ralo o esvazia em 12 h. Líquido por hora: 1/4 − 1/12 = 3/12 − 1/12 = 2/12 = 1/6. Tempo: 6 h. O ralo entra com sinal negativo.

Duas pessoas e serviço parcial. A faz um serviço em 10 dias e B em 15 dias. Juntos: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6, ou seja, 6 dias. Se A trabalhar sozinho 4 dias e depois B terminar sozinho, A fez 4/10 do serviço; faltam 6/10. B faz 1/15 por dia, então leva (6/10) ÷ (1/15) = 6/10 · 15 = 9 dias.

Operários, horas por dia e homem-dia

Quando há várias pessoas, converta o serviço em uma unidade de esforço: homem-dia ou homem-hora. É a mesma lógica da regra de três composta, só que organizada.

Exemplo 1. Oito pessoas fazem um serviço em 10 dias. Em quantos dias 5 pessoas, com o mesmo rendimento, fariam o mesmo serviço? Esforço total: 8 · 10 = 80 homens-dia. Com 5 pessoas: 80 ÷ 5 = 16 dias. As grandezas pessoas e dias são inversamente proporcionais.

Exemplo 2. Seis operários, trabalhando 8 horas por dia durante 10 dias, constroem 120 m de muro. Em quantos dias 5 operários, trabalhando 10 horas por dia, construirão 200 m?

Esforço para 120 m: 6 · 8 · 10 = 480 homens-hora. Logo, cada metro exige 480 ÷ 120 = 4 homens-hora.
Para 200 m: 200 · 4 = 800 homens-hora.
Capacidade por dia: 5 · 10 = 50 homens-hora.
Dias: 800 ÷ 50 = 16.

Roteiro para qualquer questão

Escreva a relação (d = v · t, ou serviço = rendimento × tempo).
Padronize as unidades antes de calcular.
Identifique se as taxas se somam (juntos, sentidos opostos) ou se subtraem (mesmo sentido, ralo).
Calcule e faça uma conferência de ordem de grandeza (o tempo juntos deve ser menor que o menor tempo sozinho).
Responda na unidade pedida.

Erros comuns

Tirar a média simples das velocidades de ida e volta.
Somar tempos em vez de somar rendimentos (A em 10 dias e B em 15 dias não terminam em 25 dias, nem em 12,5).
Esquecer o comprimento do trem ao atravessar ponte.
Trabalhar com 2 h 30 min como 2,30 h; o correto é 2,5 h.
Ignorar que o ralo subtrai rendimento.

Fontes e atualização

Tema de matemática aplicada, sem norma oficial correspondente; este guia é orientação prática. Todas as contas foram refeitas e conferidas por substituição (por exemplo, distâncias percorridas somando o total). Veja no edital se o conteúdo está listado.

Próximos passos

Aprofunde o método em razão e proporção.
Revise equações em equações e inequações.
Treine leitura de enunciado em interpretação de tabelas e gráficos.