Equações e inequações do 1º e 2º grau: problemas resolvidos

Equações e inequações são a base de quase todo problema de matemática de concurso: idades, preços, áreas, produção e comparação de planos viram uma equação depois que você traduz o enunciado. O segredo é montar corretamente e verificar a resposta substituindo no enunciado. Este guia mostra o método e resolve, passo a passo, os tipos que mais aparecem: 1º grau, sistemas, 2º grau e inequações, incluindo a inequação-quociente. As operações básicas estão em porcentagem e regra de três.

Equação do 1º grau

Forma geral: ax + b = 0, com a ≠ 0, e solução x = −b/a. Na prática, isole x aplicando a mesma operação aos dois lados.

Exemplo 1. 3x + 7 = 2x + 19.

Passe os termos com x para um lado e os números para o outro: 3x − 2x = 19 − 7.
x = 12.
Verificação: 3·12 + 7 = 43 e 2·12 + 19 = 43. Confere.

Exemplo 2 (idades). O pai tem o triplo da idade do filho. Daqui a 10 anos, a idade do pai será o dobro da do filho. Quais as idades hoje?

Filho: x. Pai: 3x. Daqui a 10 anos: 3x + 10 = 2(x + 10).
3x + 10 = 2x + 20, logo x = 10.
Filho 10, pai 30. Verificação: em 10 anos, 40 e 20; 40 é o dobro de 20.

Sistemas de duas equações

Dois métodos: substituição e adição.

Exemplo 3. A soma de dois números é 48 e a diferença é 12. Quais são?

x + y = 48 e x − y = 12.
Somando as equações: 2x = 60, x = 30; logo y = 18.
Verificação: 30 + 18 = 48 e 30 − 18 = 12.

Exemplo 4. 2x + y = 11 e x − y = 1.

Somando: 3x = 12, x = 4. Em x − y = 1: y = 3.
Verificação: 2·4 + 3 = 11 e 4 − 3 = 1.

Equação do 2º grau

Forma geral: ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Fórmula de Bhaskara. Calcule o discriminante Δ = b² − 4ac e use x = (−b ± √Δ) / 2a.

Se Δ > 0: duas raízes reais distintas.
Se Δ = 0: uma raiz real (raízes iguais).
Se Δ < 0: nenhuma raiz real.

Relações entre raízes (soma e produto). Se x₁ e x₂ são raízes: x₁ + x₂ = −b/a e x₁·x₂ = c/a. Muito útil para testar mentalmente.

Exemplo 5. x² − 7x + 12 = 0.

Δ = 49 − 48 = 1. x = (7 ± 1)/2, logo x = 4 ou x = 3.
Soma = 7 e produto = 12, como pedem −b/a e c/a. Confere.

Exemplo 6 (retângulo). Um retângulo tem perímetro 32 e área 60. Quais os lados?

Semiperímetro: x + y = 16, logo y = 16 − x. Área: x(16 − x) = 60.
x² − 16x + 60 = 0. Δ = 256 − 240 = 16. x = (16 ± 4)/2, logo 10 ou 6.
Lados 10 e 6. Verificação: perímetro 2(10 + 6) = 32; área 10·6 = 60.

Equações incompletas têm atalhos: ax² + bx = 0 fatora-se como x(ax + b) = 0 (raízes 0 e −b/a); ax² + c = 0 dá x² = −c/a (duas raízes simétricas, se −c/a > 0).

Inequações do 1º grau

Resolvem-se como equações, com uma regra de ouro: ao multiplicar ou dividir ambos os lados por número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.

Exemplo 7. −2x + 5 > 11.

−2x > 6. Divida por −2 e inverta: x < −3.
Verificação: x = −4 dá −2(−4) + 5 = 13 > 11, verdadeiro. x = −3 dá 11, que não é maior que 11, logo −3 está fora.

Exemplo 8 (comparação de planos). Um plano A cobra taxa fixa de 40 unidades monetárias mais 2 por cópia; um plano B cobra 4 por cópia, sem taxa. Para quantas cópias o plano A é mais vantajoso?

A: 40 + 2n; B: 4n. A é melhor quando 40 + 2n < 4n, ou seja, 40 < 2n e n > 20.
Verificação: com 20 cópias, A = 80 e B = 80 (empate); com 21, A = 82 e B = 84.

Inequações do 2º grau

Procedimento: (1) encontre as raízes; (2) esboce a parábola (a > 0, concavidade para cima; a < 0, para baixo); (3) escolha as regiões pelo sinal pedido.

Exemplo 9. x² − 5x + 6 < 0.

Raízes: Δ = 25 − 24 = 1; x = (5 ± 1)/2, logo 3 e 2.
Parábola para cima: é negativa entre as raízes. Solução: 2 < x < 3.
Verificação: x = 2,5 dá 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 < 0. Fora do intervalo, x = 1,5 dá 0,75 > 0.

Para x² − 5x + 6 ≥ 0, a solução é x ≤ 2 ou x ≥ 3.

Inequação-quociente e quadro de sinais

Em frações com incógnita no denominador, não multiplique em cruz, pois não se sabe o sinal do denominador. Estude o sinal de numerador e denominador.

Exemplo 10. (x − 1)/(x + 2) ≥ 0.

Numerador zero em x = 1; denominador zero em x = −2 (excluído do domínio).
Quadro de sinais:

Intervalo	x − 1	x + 2	Quociente
x < −2	−	−	+
−2 < x < 1	−	+	−
x > 1	+	+	+

O quociente é positivo para x < −2 e x > 1, e é zero em x = 1, que entra por causa do “≥”. Já x = −2 fica fora.
Solução: x < −2 ou x ≥ 1.
Verificação: x = −3 dá (−4)/(−1) = 4 ≥ 0; x = 0 dá −1/2 < 0; x = 2 dá 1/4 ≥ 0.

Como montar problemas

Defina a incógnita com precisão (“x = idade do filho hoje”).
Escreva cada frase do enunciado como uma relação matemática.
Resolva e volte ao enunciado para conferir.
Descarte raízes que não servem (idade negativa, número de pessoas fracionário).

Erros comuns

Esquecer de inverter o sinal da inequação ao dividir por número negativo.
Passar um termo de lado e não trocar o sinal.
Aplicar Bhaskara sem colocar a equação na forma ax² + bx + c = 0.
Cancelar x nos dois lados de x² = 5x e perder a raiz x = 0 (a forma correta é fatorar: x(x − 5) = 0).
Multiplicar em cruz uma inequação com incógnita no denominador.
Esquecer as restrições do domínio, como denominador diferente de zero.

Conferência e orientação

O conteúdo é matemática elementar consagrada, sem fonte normativa oficial. Todos os exemplos foram refeitos e verificados por substituição no enunciado. Trata-se de orientação prática de estudo; confira sempre se o edital pede o conteúdo (funções, inequações e sistemas costumam aparecer em editais de nível médio e superior).

Próximos passos

Avance para funções afim e quadrática.
Treine proporções em razão e proporção.
Revise o método em juros simples e compostos.