Análise combinatória básica: multiplicação e combinação

Análise combinatória ensina a contar possibilidades sem listá-las uma a uma. Para a maioria das provas, bastam o princípio multiplicativo, o fatorial e a pergunta decisiva: a ordem dos elementos importa ou não?

Princípio multiplicativo

Se uma escolha pode ser feita de m modos e, para cada uma, outra escolha pode ser feita de n modos, o total é m × n.

Exemplo. Uma pessoa tem 3 camisas e 4 calças. Quantas combinações de roupa existem?

3 × 4 = 12.

Exemplo com placas. Placas com 2 letras (de um alfabeto de 26) seguidas de 3 algarismos (de 0 a 9), sem restrição de repetição:

26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676 × 1 000 = 676 000.

Quando houver restrição, comece pela posição mais restrita. Quantos números de 3 algarismos distintos são pares? Como o último algarismo precisa ser par, resolva primeiro essa posição. Separe em dois casos: se termina em 0, restam 9 × 8 = 72 modos para as outras duas posições; se termina em 2, 4, 6 ou 8 (4 opções), a primeira posição não pode ser 0 nem o algarismo do fim, ficando 8 opções, e a do meio fica com 8 opções (10 menos os dois usados). Total: 72 + 4 × 8 × 8 = 72 + 256 = 328.

Fatorial

n! é o produto dos números naturais de 1 até n.

3! = 3 × 2 × 1 = 6.
5! = 120.
0! = 1 (por convenção).

Dica de simplificação: 7!/5! = 7 × 6 = 42, pois 5! corta com parte do 7!.

Permutação simples

É a quantidade de modos de ordenar n elementos distintos: Pn = n!.

Exemplo. De quantas maneiras 4 pessoas podem formar uma fila? 4! = 24.

Permutação com elementos repetidos

Se alguns elementos se repetem, divide-se pelo fatorial de cada repetição.

Exemplo. Quantos anagramas tem a palavra CASA?

Letras: C, A, S, A. O A aparece 2 vezes.
4! ÷ 2! = 24 ÷ 2 = 12.

Outro exemplo. Anagramas de BANANA: são 6 letras, com A repetido 3 vezes e N repetido 2 vezes.

6! ÷ (3! × 2!) = 720 ÷ 12 = 60.

Arranjo: a ordem importa

Escolher p elementos entre n, com a ordem fazendo diferença: A(n,p) = n!/(n − p)!.

Exemplo. Entre 5 candidatos, escolhem-se um presidente, um secretário e um tesoureiro (cargos distintos). Quantas possibilidades?

5 × 4 × 3 = 60.
Pela fórmula: 5!/2! = 120 ÷ 2 = 60.

Exemplo com senha. Senha de 3 dígitos distintos, usando algarismos de 0 a 9: 10 × 9 × 8 = 720.

Combinação: a ordem não importa

Escolher p elementos entre n sem importar a ordem: C(n,p) = n!/[p! × (n − p)!].

Exemplo 1. De quantos modos formar uma comissão de 3 pessoas entre 8?

C(8,3) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 336 ÷ 6 = 56.

Exemplo 2. Entre 6 jogadores, quantas duplas se formam?

C(6,2) = (6 × 5) ÷ 2 = 15.

Propriedade útil: C(n,p) = C(n, n − p). Assim, C(8,5) = C(8,3) = 56.

Como decidir entre arranjo e combinação

Faça a pergunta: se eu trocar a ordem dos escolhidos, o resultado muda?

Presidente, secretário e tesoureiro: trocar muda o resultado. Arranjo.
Comissão de três pessoas sem cargos: trocar não muda. Combinação.
Medalhas de ouro, prata e bronze: a ordem importa. Arranjo.
Escolher 4 números para um cartão de apostas: a ordem não importa. Combinação.

Relação: A(n,p) = C(n,p) × p!. Confira com n = 5 e p = 3: C(5,3) = 10, e 10 × 6 = 60 = A(5,3).

Estratégia do “pelo menos um”

Contar o contrário costuma ser mais curto: total menos o caso que não interessa.

Exemplo. Um grupo tem 4 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 3 pessoas têm pelo menos uma mulher?

Total de comissões: C(9,3) = (9 × 8 × 7) ÷ 6 = 84.
Comissões só com homens: C(4,3) = 4.
Pelo menos uma mulher: 84 − 4 = 80.

Permutação com restrição de posição

Exemplo. De quantas formas 5 pessoas podem sentar em fila, de modo que duas delas, Ana e Beto, fiquem sempre juntas?

Trate Ana e Beto como um bloco. Com os outros 3, são 4 elementos: 4! = 24.
Dentro do bloco, eles podem trocar de lugar: 2! = 2.
Total: 24 × 2 = 48.

Erros comuns

Usar combinação quando a ordem importa, ou o contrário.
Esquecer de dividir pelas repetições nos anagramas.
Somar quando deveria multiplicar (etapas sucessivas multiplicam; casos alternativos somam).
Esquecer que o zero não pode iniciar um número de vários algarismos.
Tratar blocos sem permutar internamente os elementos do bloco.

Quando multiplicar e quando somar

Multiplique quando as escolhas ocorrem em sequência (e…, e…). Some quando os casos são alternativos e excludentes (ou… ou…). No exemplo dos números pares, somamos os casos “termina em zero” e “termina em outro par”, mas multiplicamos as escolhas dentro de cada caso.

Próximos passos

Use a contagem em probabilidade básica: eventos, complementar e união.
Reveja operações com razões em razão e proporção: propriedades e divisão proporcional.
Leia a política editorial.