Assimetria: média, mediana e moda e os coeficientes de Pearson

Quando a prova pergunta se uma distribuição é “assimétrica positiva” ou “assimétrica negativa”, ela quer saber se você enxerga a relação entre média, mediana e moda. É uma questão curta que rende ponto fácil quando o conceito está claro, e erro caro quando se decora o nome sem entender o gráfico. Este guia mostra como identificar o tipo de assimetria, calcula os coeficientes de Pearson em um exemplo conferido e explica por que a média é puxada pelos valores extremos.

Matéria de estatística, sem norma aplicável.

Os três tipos de distribuição

A assimetria descreve o lado em que a “cauda” do histograma é mais longa.

Tipo	Cauda	Relação entre as medidas
Simétrica	Igual dos dois lados	média = mediana = moda
Assimétrica positiva (à direita)	Mais longa à direita	moda < mediana < média
Assimétrica negativa (à esquerda)	Mais longa à esquerda	média < mediana < moda

A regra mnemônica: a média é a medida mais sensível a valores extremos e é puxada na direção da cauda. A moda, que é o pico, fica do lado oposto. A mediana fica no meio, entre as duas.

Exemplo 1: distribuição simétrica

Considere os valores 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5.

Média: soma 27, dividido por 9, dá 3.
Mediana: o 5º valor ordenado, que é 3.
Moda: o valor que mais se repete, 3.

As três medidas coincidem, e o conjunto é simétrico em torno do 3.

Exemplo 2: assimetria positiva

Considere 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 9, 10 (nove valores).

Soma: 43; média = 43/9 = 4,78.
Mediana: o 5º valor ordenado = 4.
Moda: 3 (aparece três vezes).
Ordem: moda (3) < mediana (4) < média (4,78). É assimetria positiva.

Os valores 9 e 10 formam a cauda à direita e puxam a média para cima, enquanto a moda segue no pico.

Exemplo 3: assimetria negativa

Considere 2, 3, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10 (nove valores).

Soma: 63; média = 7.
Mediana: o 5º valor = 8.
Moda: 9.
Ordem: média (7) < mediana (8) < moda (9). É assimetria negativa.

A cauda à esquerda (2, 3) arrasta a média para baixo.

Coeficientes de assimetria de Pearson

Existem dois coeficientes clássicos, que usam o desvio padrão amostral s:

Primeiro coeficiente: AS₁ = (média − moda) / s
Segundo coeficiente: AS₂ = 3 × (média − mediana) / s

Interpretação: sinal positivo indica assimetria positiva; negativo, assimetria negativa; zero, simetria. Quanto maior o valor em módulo, mais acentuada a assimetria.

Cálculo no Exemplo 2

Média = 4,7778; mediana = 4; moda = 3.
Desvio padrão amostral s: a soma dos quadrados dos desvios é 63,5556, dividida por 8 dá a variância 7,9444 e o desvio padrão s = 2,8186.
AS₁ = (4,7778 − 3) / 2,8186 = 1,7778 / 2,8186 = 0,63.
AS₂ = 3 × (4,7778 − 4) / 2,8186 = 3 × 0,7778 / 2,8186 = 2,3333 / 2,8186 = 0,83.

Os dois coeficientes são positivos, de acordo com a ordem moda < mediana < média. Os valores diferem entre si, pois medem a assimetria por caminhos distintos; a prova costuma dizer qual coeficiente usar. Para usar a variância, veja variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Por que a média se move e a mediana não

Compare os conjuntos 1, 2, 3, 4, 5 e 1, 2, 3, 4, 100. A mediana é 3 nos dois. A média, porém, vai de 3 para 22. A mediana depende apenas da posição central; a média depende de todos os valores. Por isso, em distribuições muito assimétricas, como a de rendas, a mediana representa melhor o valor típico. Esse é o argumento que a banca usa em questões de interpretação.

Como a prova costuma cobrar

“Se a média é maior que a mediana, a distribuição tende a ser assimétrica positiva.” Em geral, certo: é o critério prático da relação entre as medidas.
“Numa distribuição simétrica unimodal, média, mediana e moda coincidem.” Certo. Atenção ao “unimodal”: se houver duas modas, a coincidência não vale para todas.
“Um valor extremo altera a mediana tanto quanto a média.” Errado.
Dado o gráfico (histograma com cauda à direita), identificar o sinal da assimetria.

Pegadinha da ordem

Há quem troque as ordens. Uma forma de lembrar: a mediana fica sempre entre a média e a moda, nas distribuições unimodais moderadamente assimétricas. Se a média é maior, a ordem é moda, mediana, média (da esquerda para a direita, como na reta numérica). Se a média é menor, a ordem se inverte.

Erros comuns

Confundir o nome da assimetria com o lado do pico, quando o nome vem do lado da cauda.
Calcular a mediana sem ordenar os valores antes.
Usar desvio padrão populacional (dividir por n) quando o enunciado pede o amostral (dividir por n − 1), ou o contrário. Confira o que a banca pede.
Esquecer que a relação entre as medidas é uma regra prática e não uma identidade que vale sempre; existem exceções em distribuições irregulares.

Roteiro rápido

Ordene os dados.
Calcule média, mediana e moda.
Compare: se média > mediana > moda, positiva; se média < mediana < moda, negativa.
Se pedirem o coeficiente, calcule o desvio padrão e aplique a fórmula indicada.

Próximos passos

Revise estatística descritiva, veja quartis, percentis e boxplot e estude os dados agrupados em classes.

Fontes e atualização

Assunto de estatística, sem norma aplicável; cálculos verificados por programa e à mão. Confira no edital qual notação e qual coeficiente a banca usa e o que é fornecido na prova. Veja a metodologia do site.