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Correlação mede o quanto duas variáveis andam juntas. Regressão linear simples usa essa relação para prever uma variável (Y) a partir da outra (X). Os dois temas aparecem no conteúdo de Estatística de editais de nível superior, em questões que pedem a conta ou a interpretação do resultado.
Os ingredientes
Para dados pareados (x, y), calcule:
- as médias x̄ e ȳ;
- a soma dos produtos dos desvios: Sxy = Σ(x - x̄)(y - ȳ);
- a soma dos quadrados dos desvios de x: Sxx = Σ(x - x̄)²;
- a soma dos quadrados dos desvios de y: Syy = Σ(y - ȳ)².
Com isso:
- Coeficiente de correlação de Pearson: r = Sxy / raiz(Sxx x Syy)
- Inclinação da reta: b = Sxy / Sxx
- Intercepto: a = ȳ - b x̄
- Reta de regressão: ŷ = a + b x
Exemplo completo
Cinco candidatos registraram as horas de estudo semanal (x) e o número de acertos em um simulado de 10 questões (y):
| Candidato | x (horas) | y (acertos) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 3 | 5 |
| 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 |
Médias: x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 e ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.
Desvios e produtos:
| x | y | x - 3 | y - 4 | produto | (x - 3)² | (y - 4)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 5 | 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| Soma | Sxy = 6 | Sxx = 10 | Syy = 6 |
Correlação: r = 6 / raiz(10 x 6) = 6 / raiz(60) = 6 / 7,746, aproximadamente 0,775.
Reta: b = 6 / 10 = 0,6. Intercepto: a = 4 - 0,6 x 3 = 4 - 1,8 = 2,2. Logo, ŷ = 2,2 + 0,6 x.
Interpretação da inclinação: a cada hora adicional de estudo semanal, o modelo prevê, em média, 0,6 acerto a mais.
Previsão: para x = 6 horas, ŷ = 2,2 + 0,6 x 6 = 2,2 + 3,6 = 5,8 acertos.
Coeficiente de determinação: r² = 0,775² ≈ 0,6 (de forma exata, 36 / 60 = 0,6). Isso significa que, nesse conjunto, a reta explica cerca de 60% da variação dos acertos. Os outros 40% ficam por conta de outros fatores e do acaso.
Resíduos (valor observado menos valor previsto): para x = 1, ŷ = 2,8 e o resíduo é 2 - 2,8 = -0,8; para x = 2, ŷ = 3,4 e o resíduo é 0,6; para x = 3, ŷ = 4,0 e o resíduo é 1,0; para x = 4, ŷ = 4,6 e o resíduo é -0,6; para x = 5, ŷ = 5,2 e o resíduo é -0,2. A soma dos resíduos é -0,8 + 0,6 + 1,0 - 0,6 - 0,2 = 0, como deve ser na regressão com intercepto.
Como interpretar r
| Valor de r | Leitura |
|---|---|
| Próximo de +1 | relação linear positiva forte (x sobe, y sobe) |
| Próximo de -1 | relação linear negativa forte (x sobe, y desce) |
| Próximo de 0 | pouca ou nenhuma relação linear |
Pontos que viram questão:
- r está sempre entre -1 e +1. Um valor fora desse intervalo indica erro de cálculo.
- r não tem unidade e não muda se você trocar as unidades (horas por minutos) ou trocar x por y.
- O sinal de r é o mesmo sinal de b.
- r mede relação linear. Uma relação em formato de U pode ter r perto de 0 e ainda assim ser muito forte.
- r² está entre 0 e 1 e nunca é negativo.
Correlação não é causalidade
Duas variáveis correlacionadas podem ter uma terceira causa em comum (variável de confusão) ou a associação pode ser coincidência. No exemplo, mais horas de estudo estão associadas a mais acertos, mas o modelo sozinho não prova que as horas causam os acertos: o preparo anterior, a qualidade do material e o sono também contam. Afirmativas de prova do tipo “a correlação forte comprova relação de causa e efeito” são erradas.
Cuidados com a previsão
- Interpolação: prever dentro do intervalo observado (aqui, de 1 a 5 horas) é mais confiável.
- Extrapolação: prever fora do intervalo (por exemplo, 40 horas semanais) pode não fazer sentido: o exemplo prevê 26,2 acertos, mais do que as 10 questões do simulado. Um modelo linear não conhece limites do mundo real.
- Poucos dados: com cinco pontos, qualquer conclusão é frágil. O exemplo serve para treinar a conta.
Mínimos quadrados em uma frase
A reta de regressão é a que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. É por isso que o método se chama “mínimos quadrados”. Outras retas passando pelos pontos teriam soma de quadrados maior.
Erros comuns
- Calcular a inclinação invertida: b = Sxy / Sxx, e não Sxy / Syy.
- Esquecer de subtrair as médias antes de multiplicar.
- Interpretar r = 0,775 como “77,5% de explicação”. A proporção explicada é r², e não r.
- Dizer que correlação alta prova causalidade.
- Fazer previsões muito fora do intervalo dos dados.
Próximos passos
- Revise a dispersão em variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
- Entenda como se escolhem os dados em amostragem: simples, estratificada, sistemática e por conglomerados.
- Treine a leitura de dados em interpretação de tabelas e gráficos.
Fontes e atualização
- Edital do TRT 10 (Cebraspe): o conteúdo da especialidade de Estatística lista análise de regressão, correlação, critério de mínimos quadrados e modelos de regressão linear simples e múltipla.
Todas as contas foram conferidas. Quais tópicos entram depende do cargo: confira o edital do seu concurso.