Plano cartesiano: distância, ponto médio e equação da reta

O plano cartesiano aparece em editais como “sistema de coordenadas e distância”. O assunto é pequeno e rende pontos fáceis: com três ou quatro fórmulas e atenção aos sinais, as questões se resolvem sem mistério. Geometria com coordenadas também se conecta à geometria básica e às funções do 1º e do 2º grau.

Sistema de coordenadas

O plano é formado por dois eixos perpendiculares: o horizontal (eixo x, das abscissas) e o vertical (eixo y, das ordenadas), que se cruzam na origem O(0, 0). Cada ponto é um par ordenado (x, y). Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes:

Quadrante	Sinal de x	Sinal de y
1º	+	+
2º	-	+
3º	-	-
4º	+	-

Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.

Simetrias úteis: o simétrico de (a, b) em relação ao eixo x é (a, -b); em relação ao eixo y é (-a, b); em relação à origem é (-a, -b). Exemplo: o simétrico de (3, -2) em relação ao eixo x é (3, 2).

Distância entre dois pontos

Vem do teorema de Pitágoras. Para A(x1, y1) e B(x2, y2):

d(A, B) = raiz de [(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Exemplo: A(1, 2) e B(4, 6). Diferenças: 4 - 1 = 3 e 6 - 2 = 4. d = raiz de (9 + 16) = raiz de 25 = 5.

A ordem dos pontos não importa, porque as diferenças são elevadas ao quadrado. O erro clássico é esquecer de elevar ao quadrado ou de extrair a raiz.

Aplicação: tipo de triângulo. Vértices A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3). Lados: AB = 4; AC = 3; BC = raiz de (16 + 9) = 5. Como 3² + 4² = 5², o triângulo é retângulo em A, com perímetro 4 + 3 + 5 = 12.

Ponto médio

O ponto médio M de AB tem coordenadas:

M = ((x1 + x2)/2 ; (y1 + y2)/2)

Com A(1, 2) e B(4, 6): M = (5/2 ; 8/2) = (2,5 ; 4).

Problema inverso: o ponto médio de AB é M(3, 1) e A(1, 4). Qual B? Se M = ((1 + xB)/2 ; (4 + yB)/2) = (3 ; 1), então 1 + xB = 6, logo xB = 5; e 4 + yB = 2, logo yB = -2. B = (5, -2).

Coeficiente angular e equação da reta

O coeficiente angular (declividade) m mede a inclinação da reta:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Para A(1, 2) e B(4, 6): m = 4/3.

Equação da reta que passa por um ponto (x0, y0) com coeficiente m:

y - y0 = m (x - x0)

Para a reta AB: y - 2 = (4/3)(x - 1), ou y = (4/3)x - 4/3 + 2 = (4/3)x + 2/3. Essa é a forma reduzida, y = mx + b, onde b = 2/3 é o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y).

Forma geral: ax + by + c = 0. Multiplicando por 3 a equação reduzida: 3y = 4x + 2, logo 4x - 3y + 2 = 0.

Conferindo: no ponto A(1, 2): 4 - 6 + 2 = 0. No ponto B(4, 6): 16 - 18 + 2 = 0. Ambos satisfazem.

Casos particulares: reta horizontal (y = constante) tem m = 0; reta vertical (x = constante) não tem coeficiente angular definido.

Retas paralelas e perpendiculares

Paralelas: mesmo coeficiente angular (m1 = m2).
Perpendiculares: produto dos coeficientes igual a -1 (m1 x m2 = -1), ou seja, um é o inverso e oposto do outro.

Para a reta AB (m = 4/3), uma reta perpendicular tem m = -3/4. Uma reta paralela tem m = 4/3.

Exemplo: a reta paralela a AB que passa por P(0, 0) é y = (4/3)x, ou 4x - 3y = 0. Qual a distância entre as duas paralelas? Veja a fórmula a seguir.

Distância de ponto a reta

Para a reta ax + by + c = 0 e o ponto P(x0, y0):

d = |a x0 + b y0 + c| / raiz de (a² + b²)

Com a reta 4x - 3y + 2 = 0 e P(0, 0): d = |0 - 0 + 2| / raiz de (16 + 9) = 2/5 = 0,4. Essa também é a distância entre as paralelas do exemplo anterior.

Interseção de retas

Resolva o sistema. Retas y = 2x + 1 e y = -x + 7: igualando, 2x + 1 = -x + 7, logo 3x = 6 e x = 2. Então y = 2 x 2 + 1 = 5. Interseção: (2, 5). Conferência na segunda reta: -2 + 7 = 5. Confere.

Área de um triângulo por coordenadas

Para A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3):

Área = (1/2) x |x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)|

Triângulo de vértices A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5): Área = (1/2) x |1 x (1 - 5) + 5 x (5 - 1) + 3 x (1 - 1)| = (1/2) x |-4 + 20 + 0| = (1/2) x 16 = 8.

Conferência geométrica: a base AB mede 4 (de x = 1 a x = 5 em y = 1) e a altura é 4 (de y = 1 a y = 5): 4 x 4 / 2 = 8. Confere.

Três pontos colineares: se a área calculada é zero, os pontos estão sobre uma mesma reta.

Circunferência

A circunferência de centro (a, b) e raio r tem equação:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Centro (2, 3) e raio 5: (x - 2)² + (y - 3)² = 25. O ponto (5, 7) está sobre ela? (5 - 2)² + (7 - 3)² = 9 + 16 = 25. Sim. O ponto (4, 4)? 4 + 1 = 5, menor que 25, então está dentro.

A posição de um ponto: compara-se a distância ao centro com o raio. Menor, dentro; igual, sobre; maior, fora.

Como resolver a questão

Desenhe um esboço. Na maioria das questões, a figura já mostra a resposta ou evita erro de sinal.
Identifique a fórmula (distância, ponto médio, coeficiente angular).
Substitua com parênteses para os negativos. Por exemplo, -2 - (-5) = 3.
Confira o resultado substituindo os pontos na equação obtida.

Erros comuns

Esquecer os parênteses ao subtrair coordenadas negativas.
Trocar x e y na fórmula do coeficiente angular.
Usar m1 = m2 para retas perpendiculares (isso vale para paralelas).
Esquecer o módulo na fórmula de distância de ponto a reta.
Confundir ponto médio (soma dividida por 2) com distância (diferença).

Próximos passos

Revise a geometria em geometria básica: perímetro, área, volume e Pitágoras.
Veja o gráfico das funções em função afim e quadrática.
Treine sistemas em sistemas lineares e matrizes.

Fontes e atualização

Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de Raciocínio Lógico e Matemático lista plano cartesiano (sistema de coordenadas e distância) e geometria básica (ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, perímetro e área).

Todas as contas foram conferidas por substituição. Confira no edital do seu concurso se o tema é cobrado.