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“Quantas bolas é preciso retirar, sem olhar, para ter certeza de que saíram três da mesma cor?” Esse tipo de pergunta, muito comum em provas de raciocínio lógico, se resolve com o princípio da casa dos pombos (ou princípio das gavetas) e com a técnica do pior caso. Não é probabilidade: a banca pede certeza. Este guia ensina a ideia, a fórmula e os erros mais comuns, com todos os exemplos conferidos por cálculo.
A ideia central
Se você distribui mais objetos do que há compartimentos, pelo menos um compartimento recebe mais de um objeto. Com 13 pessoas e 12 meses do ano, pelo menos duas nasceram no mesmo mês, não importa quais sejam as datas. Não se sabe qual mês, mas se tem certeza de que existe um.
Na versão generalizada: se há n objetos em k compartimentos, algum compartimento tem pelo menos ⌈n ÷ k⌉ objetos (o arredondamento é sempre para cima).
| Situação | Conta | Garantia |
|---|---|---|
| 13 pessoas, 12 meses | ⌈13 ÷ 12⌉ | Pelo menos 2 no mesmo mês |
| 30 pessoas, 7 dias da semana | ⌈30 ÷ 7⌉ = ⌈4,28⌉ | Pelo menos 5 aniversariando no mesmo dia da semana |
| 25 alunos, 4 turmas | ⌈25 ÷ 4⌉ = ⌈6,25⌉ | Alguma turma tem pelo menos 7 |
A técnica do pior caso
Quando a pergunta é “quantas retiradas garantem o resultado”, pense no azar máximo: o pior cenário possível que ainda não realiza o que se pede. Quando o próximo item inevitavelmente completa a condição, some 1.
Fórmula do mínimo garantido: para obter m itens de uma mesma categoria entre k categorias, o pior caso é pegar m − 1 de cada categoria sem completar. Retira-se, no mínimo, k × (m − 1) + 1, desde que cada categoria tenha pelo menos m − 1 itens disponíveis.
Exemplo 1: bolas de cinco cores
Uma urna tem 5 cores com 8 bolas de cada. Quantas retirar para ter certeza de três da mesma cor?
- Pior caso: duas de cada cor, sem completar nenhuma trinca: 5 × 2 = 10 bolas.
- A 11ª bola obrigatoriamente repete uma cor que já tem duas.
Resposta: 11 (conferido: 5 × (3 − 1) + 1 = 11).
Exemplo 2: meias no escuro
Uma gaveta tem 10 meias pretas e 8 brancas, misturadas. Quantas retirar para ter certeza de:
- um par de mesma cor (qualquer)? Pior caso: uma preta e uma branca. A terceira fecha o par. Resposta: 3.
- um par de meias brancas? Pior caso: tirar todas as 10 pretas antes. Depois, 2 brancas. Resposta: 10 + 2 = 12.
Note a armadilha: quando a pergunta exige uma categoria específica, o pior caso esgota primeiro as outras categorias inteiras.
Aplicações menos óbvias
O princípio também resolve problemas de números e pares. O truque é criar os compartimentos a partir de uma propriedade.
Exemplo 3: soma 21
Entre os números de 1 a 20, quantos é preciso escolher para garantir que dois deles somem 21?
- Forme os compartimentos: os pares que somam 21 são (1,20), (2,19), (3,18), …, (10,11). São 10 pares.
- Escolhendo 10 números, é possível tirar um de cada par (por exemplo, todos de 1 a 10) sem nenhuma soma 21.
- Escolhendo o 11º, ele cai em um par que já tem representante, e a soma 21 aparece.
Resposta: 11. Conferimos por força bruta: todos os subconjuntos de 11 números de 1 a 20 contêm um par que soma 21, e o subconjunto de 1 a 10 (com 10 números) não contém.
Exemplo 4: restos
Entre quaisquer 8 números inteiros, dois têm o mesmo resto na divisão por 7. Os compartimentos são os possíveis restos (de 0 a 6, ou seja, 7 restos), e 8 > 7.
Passo a passo para qualquer questão
- Leia o verbo: “garantir”, “ter certeza”, “no mínimo” indicam pior caso.
- Defina os compartimentos (cores, meses, restos, pares).
- Construa o pior caso: encha todos os compartimentos até um item antes de completar a condição.
- Some 1.
- Verifique se há limite de estoque: se uma cor tem poucas bolas, ela se esgota e o pior caso muda.
Quando o estoque limita o pior caso
Uma urna tem 3 bolas vermelhas, 9 azuis e 9 verdes. Para garantir 4 da mesma cor, o pior caso comum seria 3 de cada cor (9) mais 1 = 10. Mas as vermelhas só têm 3, e 3 vermelhas não completam 4, então o raciocínio vale: 3 vermelhas + 3 azuis + 3 verdes = 9, e a 10ª bola dá 4 azuis ou 4 verdes. Resposta: 10.
Agora mude para 2 vermelhas, 9 azuis e 9 verdes e peça 4 da mesma cor: o pior caso é 2 vermelhas (todas) + 3 azuis + 3 verdes = 8; a 9ª bola completa. Resposta: 9, e não 10. O estoque pequeno reduz o pior caso.
Erros comuns
- Confundir “garantir” com “provavelmente”: a pergunta não é de probabilidade.
- Esquecer o +1 no final.
- Usar a fórmula k × (m − 1) + 1 quando uma categoria tem menos de m − 1 itens.
- Ignorar que o pedido de categoria específica muda o pior caso (exemplo das meias brancas).
- Não criar os compartimentos nos problemas com números.
- Arredondar para baixo em vez de para cima ao dividir.
Próximos passos
- Compare com chances em probabilidade básica: eventos, complementar e união.
- Treine contagem em análise combinatória básica.
- Reforce a leitura de enunciados em lógica de associação e ordenação.
Fontes e atualização
Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todos os exemplos numéricos foram conferidos executando código (inclusive a verificação exaustiva do exemplo da soma 21). O edital define o programa de raciocínio lógico da prova; confira-o.