Números-índices: Laspeyres, Paasche, mudança de base e deflação

Quando um relatório diz que o índice de preços “subiu de 100 para 112”, ele está usando um número-índice: um número que resume a variação de uma grandeza (preço, quantidade, valor) em relação a uma época de referência. As provas de estatística e de economia cobram o cálculo de índices simples e ponderados, a mudança de base e a deflação de valores nominais. Todas as contas abaixo são aritmética e foram conferidas duas vezes.

Matéria de estatística, sem norma aplicável. Este guia explica os cálculos de forma genérica; para a metodologia de qualquer índice oficial específico, consulte a documentação do órgão que o produz, indicada no edital. Para variações sucessivas, veja porcentagem e variações sucessivas.

Índice simples (relativo)

O relativo de preço é a razão entre o preço atual e o preço na época-base, multiplicada por 100:

I = (p1 / p0) × 100

Se um item custava 10 e passou a custar 12, o relativo é 12/10 = 1,20, ou índice 120: alta de 20 por cento sobre a base. Com três itens de preços-base 10, 20 e 5, e preços atuais 12, 21 e 6, os relativos são 1,20, 1,05 e 1,20.

A média aritmética simples dos relativos é (1,20 + 1,05 + 1,20)/3 = 1,15, ou seja, 115. Essa média trata todos os itens como igualmente importantes, o que raramente é realista.

Índices ponderados

Itens têm pesos diferentes no orçamento. Os índices ponderados usam quantidades como pesos.

Laspeyres: pesos da época-base

L = Σ(p1 × q0) / Σ(p0 × q0)

Paasche: pesos da época atual

P = Σ(p1 × q1) / Σ(p0 × q1)

Fisher: média geométrica dos dois

F = raiz quadrada de (L × P)

Exemplo resolvido

Três itens, com preços (p) e quantidades (q) na base (0) e na época atual (1):

Item	p0	q0	p1	q1
A	10	4	12	3
B	20	2	21	3
C	5	10	6	12

Laspeyres

Σ(p1 × q0) = 12×4 + 21×2 + 6×10 = 48 + 42 + 60 = 150.
Σ(p0 × q0) = 10×4 + 20×2 + 5×10 = 40 + 40 + 50 = 130.
L = 150 / 130 = 1,1538, isto é, índice 115,38.

Paasche

Σ(p1 × q1) = 12×3 + 21×3 + 6×12 = 36 + 63 + 72 = 171.
Σ(p0 × q1) = 10×3 + 20×3 + 5×12 = 30 + 60 + 60 = 150.
P = 171 / 150 = 1,14, isto é, índice 114,00.

Fisher

F = raiz de (1,1538 × 1,14) = raiz de 1,3154 = 1,1469, isto é, índice 114,69.

O índice de Fisher fica entre os outros dois. Observação conceitual cobrada em prova: Laspeyres usa quantidades fixas da época-base e, por isso, tende a superestimar a alta quando os consumidores migram para itens que ficaram relativamente mais baratos; o Paasche tende ao contrário. Aqui, L (115,38) é maior que P (114,00). Em provas, o termo “tende” é essencial; não é uma regra matemática sem exceções.

Mudança de base

Uma série tem base 100 numa certa época. Para mudar a base para outra época, divide-se cada valor pelo valor da nova base e multiplica-se por 100.

Série na base original: 100; 104; 109,2; 114,66 (quatro períodos). Para colocar a base no 2º período:

100 / 104 × 100 = 96,15.
104 / 104 × 100 = 100.
109,2 / 104 × 100 = 105,00.
114,66 / 104 × 100 = 110,25.

A variação percentual entre períodos não muda: de 104 para 109,2 é 109,2/104 − 1 = 0,05 (5 por cento), e de 100 para 105 na base nova também é 5 por cento. A mudança de base altera o nível, não as taxas.

Outro caso: um valor de 108 na base antiga, com índice de 105 na nova data de base, vira 108/105 × 100 = 102,86 na base nova.

Variação acumulada

As variações de uma série encadeiam-se por multiplicação, não por soma. Na série acima, as variações entre períodos são 4, 5 e 5 por cento. O acumulado é 1,04 × 1,05 × 1,05 = 1,1466, ou seja, 14,66 por cento, que coincide com 114,66/100 − 1. Somar (4 + 5 + 5 = 14) dá um número errado. A variação média por período, em termos geométricos, é a raiz cúbica de 1,1466 menos 1, aproximadamente 4,67 por cento. Veja médias geométrica e harmônica para a ideia.

Atenção a “pontos” e “percentual”: de 104 para 109,2, o índice subiu 5,2 pontos, que equivalem a 5 por cento sobre 104. A diferença de pontos depende da base; o percentual é a razão.

Deflação: tirar o efeito dos preços

Para comparar valores de épocas diferentes, divide-se o valor nominal pelo índice de preços (na forma decimal, base 1).

Exemplo: o salário nominal subiu de 2.000 para 2.300 unidades monetárias, enquanto o índice de preços foi de 100 para 112.

Aumento nominal: 2.300/2.000 − 1 = 0,15, ou 15 por cento.
Salário real (em poder de compra da época inicial): 2.300 / 1,12 = 2.053,57.
Variação real: 2.053,57/2.000 − 1 = 0,0268, ou 2,68 por cento.
Para só manter o poder de compra, o salário precisaria ser 2.000 × 1,12 = 2.240.

Note que não se faz 15 − 12 = 3. A relação correta é (1 + nominal) / (1 + inflação) − 1, a mesma da taxa real. Veja taxas proporcional, equivalente e efetiva e a taxa real.

Erros comuns

Somar variações percentuais em vez de multiplicar.
Confundir pontos de índice com pontos percentuais.
Usar a média simples dos relativos quando o enunciado fornece pesos.
Esquecer de multiplicar por 100 (ou de dividir) ao converter entre índice e razão.
Trocar as quantidades de Laspeyres (base) pelas de Paasche (atual).
Achar que mudar a base altera as variações.

Roteiro de resolução

Identifique se o índice é simples ou ponderado, e qual ponderação o enunciado exige.
Monte a tabela de preços e quantidades e calcule os dois somatórios.
Divida e converta para a base 100.
Para mudança de base, divida pelo novo valor-base.
Para deflação, divida pelo índice na forma decimal.

Próximos passos

Veja estatística descritiva, interpretação de tabelas e gráficos e juros simples e compostos.

Fontes e atualização

Sem norma aplicável: conteúdo de matemática e estatística, com exemplos numéricos próprios, todos conferidos por programa. Para a metodologia de qualquer índice oficial, siga a documentação do órgão responsável indicada no edital. Veja a metodologia do site.