Misturas e alegação: média ponderada, concentração e diluição

Misturar duas soluções, dois tipos de café ou dois lotes de grãos parece um problema novo a cada prova, mas é sempre o mesmo: uma média ponderada. O peso de cada componente é a sua quantidade. Este guia mostra a ideia central, o método da alegação (também chamado de método da cruz) e como tratar adição de água. Todos os exemplos foram conferidos por código, e há um quadro de erros ao final.

A ideia central: a mistura é uma média ponderada

Quando misturamos quantidades q₁ e q₂ de dois componentes com “teores” (concentração, preço, qualidade) t₁ e t₂, o teor da mistura é

t = (q₁·t₁ + q₂·t₂) ÷ (q₁ + q₂)

O resultado fica sempre entre t₁ e t₂, e mais perto do componente que está em maior quantidade. Esse é o teste de sensatez mais útil: se a resposta sai fora do intervalo, há erro.

Exemplo 1: concentração

Misturam-se 20 L de uma solução com 40% de álcool e 30 L de outra com 60% de álcool. Qual a concentração final?

1. Álcool puro: 20 × 0,40 = 8 L e 30 × 0,60 = 18 L, total 26 L.
2. Volume total: 50 L.
3. Concentração: 26 ÷ 50 = 52%.

Conferência: 52% está entre 40% e 60% e mais perto de 60%, porque há mais volume da segunda solução.

O método da alegação

Quando se conhece o teor desejado e se quer a proporção entre os componentes, usa-se a alegação. Colocam-se os teores dos componentes nos extremos, o teor desejado ao centro, e subtrai-se em cruz (sempre o maior menos o menor):

Componente	Teor	Distância ao teor desejado	Proporção
A	t₁ (menor)	t₂ − t desejado	partes de A
B	t₂ (maior)	t desejado − t₁	partes de B

Atenção: cada componente recebe a distância do outro ao teor desejado. A quantidade do componente de teor menor é proporcional à diferença entre o teor maior e o desejado.

Exemplo 2: preço médio

Em que proporção devem ser misturados dois tipos de café, um de 12 u.m. o quilo e outro de 20 u.m. o quilo, para obter uma mistura de 15 u.m. o quilo?

1. Teores: 12 e 20; desejado: 15.
2. Distâncias: 20 − 15 = 5 (para o café de 12) e 15 − 12 = 3 (para o de 20).
3. Proporção: 5 partes do café de 12 para 3 partes do de 20.
4. Conferência: (5 × 12 + 3 × 20) ÷ 8 = (60 + 60) ÷ 8 = 15. Correto.

O café de menor preço entra em maior quantidade, porque a mistura (15) está mais perto de 12 do que de 20.

Exemplo 3: quantidades exatas

Quantos litros de cada solução (40% e 60%) são necessários para obter 50 L a 52%?

1. Alegação: distâncias 60 − 52 = 8 e 52 − 40 = 12; proporção 8 : 12 = 2 : 3 (40% para 60%).
2. Total 50 L dividido em 5 partes de 10 L: 20 L da solução de 40% e 30 L da de 60%. Bate com o exemplo 1.

Diluição: adicionar água

A água tem teor 0% do soluto. A quantidade de soluto não muda ao adicionar água; o que muda é o volume.

Exemplo 4

Há 10 L de uma solução a 30%. Quantos litros de água devem ser adicionados para a concentração cair a 20%?

1. Soluto: 10 × 0,30 = 3 L.
2. O novo volume V satisfaz 3 ÷ V = 0,20, logo V = 15 L.
3. Água adicionada: 15 − 10 = 5 L.
4. Conferência: 3 ÷ 15 = 0,20.

Exemplo 5: evaporação (concentração sobe)

Se de 10 L a 30% evaporassem 2 L de água, o soluto continua 3 L e o volume vira 8 L, com concentração 3 ÷ 8 = 37,5%.

Passo a passo

1. Identifique o “teor” (concentração, preço, pureza) e a “quantidade” (volume, peso).
2. Decida o que se quer: o teor final (média ponderada) ou a proporção (alegação).
3. Para diluição ou evaporação, fixe o soluto e recalcule o volume.
4. Confira se o teor final está entre os teores dos componentes.
5. Responda na unidade pedida (litros, quilos, partes).

Quadro de erros comuns

Erro	Correção
Fazer a média simples dos teores	Pondere pelas quantidades
Inverter as distâncias na alegação	Cada componente recebe a distância do outro
Alterar o soluto ao diluir	O soluto fica fixo; muda o volume
Aceitar resultado fora do intervalo dos teores	Reveja a conta
Somar percentuais sem converter em quantidades	Calcule a quantidade do soluto antes
Perder uma etapa quando há três componentes	Calcule o total de soluto e o volume total

Próximos passos

• Revise percentuais em porcentagem: aumentos, descontos e variações sucessivas.
• Estude proporções em razão e proporção.
• Veja médias em estatística descritiva: média, mediana e moda.

Fontes e atualização

Tema de matemática elementar, sem norma aplicável. Todos os exemplos numéricos foram conferidos executando código. O edital define o programa de matemática da prova; confira-o.