Médias geométrica e harmônica: quando usar cada uma

Quase todo mundo sabe calcular a média aritmética. As provas de nível superior, porém, cobram também a geométrica e a harmônica, sobretudo para saber qual usar em cada situação. O erro típico é aplicar a média aritmética a taxas e velocidades, o que leva a respostas erradas, mas parecidas. Este guia ensina a escolher e a calcular.

Para revisar média simples, ponderada, mediana e moda, veja estatística descritiva.

As três fórmulas

Para n valores positivos x1, x2, …, xn:

Média aritmética (MA) = (x1 + x2 + … + xn) / n
Média geométrica (MG) = raiz n-ésima de (x1 x x2 x … x xn)
Média harmônica (MH) = n / (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn)

Para dois valores a e b: MG = raiz de (a x b) e MH = 2ab / (a + b).

Quando usar cada uma

Situação	Média adequada
Valores somados (notas, idades, preços de um mesmo item)	aritmética
Fatores multiplicativos (taxas de crescimento, índices acumulados)	geométrica
Razões em que o numerador é fixo (velocidade com mesma distância, preço por unidade com mesmo gasto)	harmônica

Regra de bolso: se a grandeza de interesse é um produto (acumulado), MG; se é uma soma de inversos (tempo gasto, trabalho), MH.

Velocidade média: a média harmônica em ação

Um carro percorre a ida entre duas cidades a 40 km/h e a volta, pelo mesmo caminho, a 60 km/h. Qual a velocidade média no percurso total?

Erro comum: média aritmética (40 + 60) / 2 = 50 km/h.

Resolução correta: seja d a distância de ida. Tempo de ida: d/40. Tempo de volta: d/60. Tempo total: d/40 + d/60 = (3d + 2d)/120 = 5d/120 = d/24. Distância total: 2d. Velocidade média = 2d / (d/24) = 48 km/h.

A média harmônica dá o mesmo resultado: MH = 2 x 40 x 60 / (40 + 60) = 4800 / 100 = 48 km/h.

Por que não é 50? Porque o carro gasta mais tempo na velocidade menor. A média harmônica pesa mais o valor menor. Atenção: se os tempos em cada velocidade fossem iguais (e não as distâncias), a média correta seria a aritmética.

Taxas de crescimento: a média geométrica

Um investimento rende 10% em um período e 20% no seguinte. Qual a taxa média por período?

Erro comum: média aritmética de 10% e 20% = 15% por período.

Resolução correta: os fatores de crescimento são 1,10 e 1,20. O fator acumulado é 1,10 x 1,20 = 1,32. A média geométrica dos fatores é raiz de 1,32, aproximadamente 1,1489. Logo, a taxa média é cerca de 14,89% por período.

Conferência: 1,1489 x 1,1489 é aproximadamente 1,32. Com 15% por período teríamos 1,15 x 1,15 = 1,3225, acima do acumulado real. A média aritmética superestima o crescimento composto.

Se as taxas variam, outro cuidado: para queda, o fator é menor que 1. Uma queda de 10% tem fator 0,90.

Exemplo geométrico simples

Média geométrica de 2 e 8: raiz de (2 x 8) = raiz de 16 = 4. Para três valores, 2, 4 e 16: produto 128, e a raiz cúbica de 128 não é exata (cerca de 5,04); em provas, os números costumam ser escolhidos para dar raiz exata, como 2, 4 e 8: produto 64 e raiz cúbica 4.

Relação entre as médias

Para valores positivos:

MA ≥ MG ≥ MH

A igualdade vale somente quando todos os valores são iguais.

Teste com 4 e 9:

MA = (4 + 9) / 2 = 6,5
MG = raiz de 36 = 6
MH = 2 x 4 x 9 / (4 + 9) = 72 / 13, aproximadamente 5,54

Ordem: 6,5 > 6 > 5,54. Confere.

Propriedade para dois valores: MG² = MA x MH. Em 4 e 9: 6,5 x 5,538 é aproximadamente 36 = 6². Com exatidão: MA x MH = (13/2) x (72/13) = 36. Vale apenas para dois números.

Teste com valores iguais, 5 e 5: MA = 5; MG = raiz de 25 = 5; MH = 2 x 25 / 10 = 5. As três coincidem.

Outras questões de média

Média com valor desconhecido. A média aritmética de 5 números é 12. Se retirarmos um deles, a média dos 4 restantes é 10. Qual o número retirado? Soma original = 5 x 12 = 60. Soma dos 4 restantes = 4 x 10 = 40. Retirado = 60 - 40 = 20.

Efeito de operações. Multiplicando todos os valores por 2, a MA, a MG e a MH ficam multiplicadas por 2. Somando 3 a todos os valores, a MA aumenta exatamente 3; a MG e a MH não têm essa propriedade (para 2 e 8, a MG é 4; somando 3, os valores viram 5 e 11 e a MG vira raiz de 55, cerca de 7,42, e não 7).

Média de médias. A média das médias de dois grupos só é a média geral se os grupos têm o mesmo tamanho. Exemplo: grupo A com 10 pessoas e média 6; grupo B com 30 pessoas e média 8. Média geral = (10 x 6 + 30 x 8) / 40 = (60 + 240) / 40 = 7,5, e não 7.

Erros comuns

Usar MA para velocidades em trechos de mesma distância.
Usar MA para taxas de crescimento acumulado.
Esquecer de transformar a taxa em fator (1 + taxa) antes de multiplicar.
Aplicar a média geométrica com valores zero ou negativos (a fórmula exige positivos).
Concluir que MG = MH apenas porque os valores são parecidos.

Próximos passos

Treine a proporcionalidade em razão e proporção.
Aplique a velocidade em problemas de movimento e de trabalho.
Veja crescimento em juros simples e compostos.

Fontes e atualização

Edital do TRF 1 (FGV): o conteúdo de uma especialidade de análise de dados lista medidas de tendência central: média (aritmética, ponderada, geométrica e harmônica), mediana e moda.

Todas as contas foram conferidas. Confira no edital do seu concurso se o tema é cobrado.