Logaritmos na prática: propriedades, equações e tempo para dobrar

Logaritmo costuma aparecer em prova de duas formas: dentro de matemática financeira, quando o enunciado pergunta em quanto tempo um capital dobra ou triplica, e em questões de função exponencial, em que o expoente é a incógnita. O enunciado quase sempre fornece os valores dos logaritmos de que você precisa (como log 2 aproximadamente 0,301), de modo que o que se cobra é o domínio das propriedades. Este guia as reúne, mostra a mudança de base e resolve seis problemas, com todos os valores conferidos por programa.

Matéria de matemática, sem norma aplicável. Para a base financeira, veja juros simples e compostos.

Definição

O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual se eleva a para obter b:

log_a(b) = x significa a^x = b

Condições: a positivo e diferente de 1, e b positivo. Exemplos: log_2(32) = 5, pois 2^5 = 32; log_3(81) = 4; log_3(1/9) = −2, pois 3^(−2) = 1/9; log_10(0,001) = −3.

Sem indicação de base, “log” nas provas costuma significar base 10; “ln” é o logaritmo natural, de base e (aproximadamente 2,718). Confira a convenção do enunciado.

As propriedades que resolvem tudo

Propriedade	Fórmula
Produto	log(a × b) = log a + log b
Quociente	log(a / b) = log a − log b
Potência	log(a^n) = n × log a
Logaritmo de 1	log 1 = 0
Logaritmo da base	log_a(a) = 1
Mudança de base	log_a(b) = log b / log a

Conferência com valores

Use log 2 = 0,30103, log 3 = 0,47712 e log 5 = 0,69897 (valores com cinco casas).

log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0,47712 = 0,77815. Calculado diretamente também dá 0,77815.
log 12 = 2 × log 2 + log 3 = 0,60206 + 0,47712 = 1,07918. Bate com o valor direto.
log 0,5 = log 1 − log 2 = −0,30103.

Um erro frequente é “log(a + b) = log a + log b”. Isso é falso: a soma de logaritmos corresponde ao produto dos números.

Mudança de base

Quando o enunciado fornece só alguns logaritmos decimais, converta.

Exemplo: log_5 de 20

Mude para base 10: log_5(20) = log 20 / log 5.
Decomponha: log 20 = log (4 × 5) = 2 × log 2 + log 5 = 0,60206 + 0,69897 = 1,30103.
Divida: 1,30103 / 0,69897 = 1,8613.

Resposta: aproximadamente 1,861. Outra forma de enxergar: log_5(20) = log_5(4) + log_5(5) = log_5(4) + 1, com log_5(4) = 2 × 0,30103 / 0,69897 = 0,8613.

Exemplo: log_2 de 50

log_2(50) = log 50 / log 2. Como log 50 = log 100 − log 2 = 2 − 0,30103 = 1,69897, temos 1,69897 / 0,30103 = 5,644. Confira: 2^5 = 32 e 2^6 = 64, e 50 está entre eles, perto do meio na escala logarítmica.

Equações exponenciais

Duas técnicas: igualar as bases quando for possível, ou aplicar logaritmo nos dois lados.

Igualar as bases

Resolver 25^x = 125. Escrevendo 25 = 5^2 e 125 = 5^3: 5^(2x) = 5^3, logo 2x = 3 e x = 1,5. Confere: 25^1,5 = 125.

Resolver 2^(x+1) + 2^x = 24. Observe que 2^(x+1) = 2 × 2^x. Então 2 × 2^x + 2^x = 3 × 2^x = 24, logo 2^x = 8 e x = 3. Confere: 2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24.

Aplicar logaritmo

Resolver 3^x = 7. Aplicando logaritmo: x × log 3 = log 7, logo x = log 7 / log 3 = 1,7712. A base não é potência de 3 nem de 7, então não dá para igualar bases.

Tempo para dobrar um capital

Capital C aplicado a juros compostos de taxa i por período vira C × (1 + i)^n depois de n períodos. Para dobrar, queremos (1 + i)^n = 2, ou seja:

n = log 2 / log (1 + i)

Exemplo A: 2 por cento por período

log 1,02 = 0,0086002.
n = 0,30103 / 0,0086002 = 35,003.
Interpretação: com 35 períodos o capital ainda não dobrou; 1,02^35 = 1,99989 (um pouco menos de 2). Só no 36º período o montante supera o dobro. Quando o enunciado pergunta “o menor número inteiro de períodos para que o capital pelo menos dobre”, a resposta é 36.

Exemplo B: 10 por cento por período

log 1,1 = 0,041393.
n = 0,30103 / 0,041393 = 7,27.
Verificação: 1,1^7 = 1,9487 (não dobrou) e 1,1^8 = 2,1436 (dobrou). O menor inteiro é 8.

Exemplo C: triplicar a 5 por cento por período

n = log 3 / log 1,05 = 0,47712 / 0,021189 = 22,52.
Verificação: 1,05^22 = 2,9253 e 1,05^23 = 3,0715. O menor inteiro é 23.

A regra: o cálculo dá o n exato; o problema discreto pede o inteiro seguinte (arredondamento para cima).

Decaimento exponencial

Um bem perde valor à taxa de 10 por cento por período, partindo de 1.000. Quando seu valor ficará abaixo de 500? Queremos 1000 × 0,9^n < 500, isto é, 0,9^n < 0,5.

n > log 0,5 / log 0,9. Como os dois logaritmos são negativos, a divisão é positiva: n > 6,58.
Verificação: 0,9^6 × 1000 = 531,44 (acima de 500) e 0,9^7 × 1000 = 478,30 (abaixo).
Resposta: a partir do 7º período.

Atenção à desigualdade: ao dividir por um logaritmo negativo, o sinal da desigualdade se inverte. É a pegadinha clássica. Aqui, n × log 0,9 < log 0,5 vira n > (log 0,5 / log 0,9) porque log 0,9 é negativo.

Quantos dígitos tem uma potência grande

O número de dígitos de um inteiro positivo N é a parte inteira de log N, mais 1. Para 2^100: log (2^100) = 100 × 0,30103 = 30,103; parte inteira 30, mais 1, dá 31 dígitos. Confere: 2^100 = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376, que tem 31 dígitos.

Erros comuns

Escrever log(a + b) = log a + log b.
Esquecer a condição de existência: base positiva e diferente de 1, logaritmando positivo.
Esquecer de inverter a desigualdade quando se divide por log negativo.
Dar como resposta o n decimal em problema que pede inteiro de períodos.
Confundir log (base 10) com ln (base e).
Aplicar a potência errada em log(a^n), colocando n como argumento.

Roteiro de resolução

Veja quais logaritmos o enunciado fornece.
Decomponha os números em fatores desses valores.
Aplique produto, quociente e potência.
Se a incógnita é o expoente, tente igualar as bases; se não der, aplique logaritmo.
Cheque o resultado substituindo, sobretudo nos problemas de tempo.

Próximos passos

Veja equações e inequações, função afim e quadrática e VPL e TIR.

Fontes e atualização

Sem norma aplicável: conteúdo de matemática, com exemplos próprios conferidos por programa. Confira no edital o conteúdo programático e os valores de logaritmos que a prova fornece. Veja a metodologia do site.