Sequências lógicas: padrões, progressão aritmética e geométrica

Questões de sequência pedem o próximo termo ou um termo distante de uma lista com padrão oculto. O caminho é testar, em ordem, as hipóteses mais comuns: diferença constante, razão constante, diferenças que crescem, termos alternados e regras com letras ou posições.

Passo a passo para descobrir o padrão

1. Calcule as diferenças entre termos consecutivos.
2. Se não forem iguais, calcule as diferenças das diferenças.
3. Teste divisões entre termos consecutivos (razão).
4. Separe termos em posições ímpares e pares: podem ser duas sequências intercaladas.
5. Observe se cada termo depende dos anteriores (soma dos dois últimos, por exemplo).
6. Em sequências de letras, converta-as em posição no alfabeto.

Progressão aritmética (PA)

É a sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante, chamada razão r.

• Termo geral: an = a1 + (n − 1) × r.
• Soma dos n primeiros termos: Sn = (a1 + an) × n ÷ 2.

Exemplo 1. Na sequência 5, 9, 13, 17, …, qual é o 10º termo e a soma dos 10 primeiros?

1. Razão: 9 − 5 = 4.
2. a10 = 5 + 9 × 4 = 5 + 36 = 41.
3. S10 = (5 + 41) × 10 ÷ 2 = 46 × 5 = 230.

Conferência dos termos: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41. A soma é 230.

Exemplo 2. Quantos termos tem a PA 7, 12, 17, …, 82?

1. r = 5.
2. 82 = 7 + (n − 1) × 5.
3. 75 = (n − 1) × 5, logo n − 1 = 15 e n = 16.

Progressão geométrica (PG)

É a sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão constante q.

• Termo geral: an = a1 × q^(n − 1).
• Soma dos n primeiros termos (q diferente de 1): Sn = a1 × (q^n − 1) ÷ (q − 1).

Exemplo 3. Na PG 3, 6, 12, 24, …, qual o 7º termo?

1. q = 6 ÷ 3 = 2.
2. a7 = 3 × 2^6 = 3 × 64 = 192.

Exemplo 4. Soma dos 6 primeiros termos da mesma PG.

1. S6 = 3 × (2^6 − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 63 = 189.
2. Conferência: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.

Exemplo 5 (razão fracionária). PG 80, 40, 20, 10: q = 1/2. O próximo termo é 5.

Diferenças que crescem

Quando as diferenças não são constantes, olhe a segunda diferença.

Exemplo 6. Qual o próximo termo de 2, 5, 10, 17, 26, …?

1. Diferenças: 3, 5, 7, 9.
2. A segunda diferença é constante, igual a 2, então a próxima diferença é 11.
3. Próximo termo: 26 + 11 = 37.

Observação: esses números são n² + 1 (1² + 1 = 2, 2² + 1 = 5, 3² + 1 = 10 e assim por diante), logo o 6º termo é 36 + 1 = 37. Confere.

Sequências intercaladas

Exemplo 7. Qual o próximo termo de 2, 5, 4, 10, 8, 20, …?

1. Posições ímpares: 2, 4, 8, … (dobra a cada passo).
2. Posições pares: 5, 10, 20, … (também dobra).
3. O próximo está em posição ímpar: 8 × 2 = 16.

Sequência em que cada termo usa os anteriores

Exemplo 8. Em 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, cada termo é a soma dos dois anteriores. Logo, o próximo é 8 + 13 = 21.

Sequências com letras

Converta as letras em posições no alfabeto (A = 1, B = 2, C = 3, e assim por diante). Considere o alfabeto de 26 letras, salvo indicação do enunciado.

Exemplo 9. A, C, F, J, O, …

1. Posições: 1, 3, 6, 10, 15.
2. Diferenças: 2, 3, 4, 5. A próxima é 6.
3. Próxima posição: 15 + 6 = 21, que é a letra U.

Confirmação da contagem: A1, B2, C3, D4, E5, F6, G7, H8, I9, J10, K11, L12, M13, N14, O15, P16, Q17, R18, S19, T20, U21.

Problemas de contexto

Exemplo 10. Uma pessoa guarda 3 reais no primeiro dia e, a cada dia, guarda 2 reais a mais que no dia anterior. Quanto terá guardado após 12 dias?

1. É uma PA com a1 = 3 e r = 2.
2. a12 = 3 + 11 × 2 = 25.
3. S12 = (3 + 25) × 12 ÷ 2 = 28 × 6 = 168 reais.

Exemplo 11. Uma colônia começa com 5 unidades e dobra a cada hora. Quantas há após 4 horas?

• PG com q = 2: a5 = 5 × 2^4 = 80 (o termo inicial é o instante zero, por isso o expoente é 4).

Ao ler a questão, defina com cuidado qual é o primeiro termo e o que significa “após n períodos”.

Erros comuns

• Contar mal os termos: o 10º termo usa 9 vezes a razão, e não 10.
• Aplicar fórmula de PA em uma PG, e vice-versa.
• Esquecer de testar sequências intercaladas quando o padrão simples falha.
• Errar o alfabeto: o alfabeto oficial hoje tem 26 letras, mas se o enunciado indicar outro (por exemplo, 23 letras), siga o que ele manda.
• Aceitar o primeiro padrão que “parece” bom sem conferir todos os termos dados.

Próximos passos

• Pratique outra forma de pensar em problemas de conjuntos com dois e três conjuntos.
• Reforce a base lógica em proposições lógicas e tabela-verdade.
• Conheça o propósito do portal.